Помогите с ТФКП - разложить функцию в ряд Тейлора

[grandmix]

Ребят , помогите пожалуйста разложить в ряд Тейлора следующую функцию

в точках
$a=0 ,a = \infty$
при |b|<|c|
Я расписал для точки a=0

Дальше не знаю как , да и с ответом у меня не вяжется .
Ответ для a=0:
$\sum_{k=0}^{\infty } \frac{b^{2k+2}-c^{2k+2}}{b^{2}-c^{2}}\frac{z^{2k}}{b^{2k+2}c^{2k+2}} , |z|<|b|$

[Хорхе]

Разложите сперва на простые дроби (или на не совсем простые, с квадратами в знаменателе).

[grandmix]

я не очень пойму, почему я должен разложить дробь на элементарные. Существует ли теорема? Почему я не могу сделать так, как я начал?

[Human]

grandmix в сообщении #556735 писал(а):

я не очень пойму, почему я должен разложить дробь на элементарные. Существует ли теорема? Почему я не могу сделать так, как я начал?

А как Вы предлагаете перемножить две бесконечные суммы?

[ИСН]

По пунктам: (1) старшина сказал; (2) нет, никаких теорем не существует, также как аксиом, чисел, прямых, функций и прочего, это всё абстракции; (3) можете попробовать сделать без разложения, но... минуточку, Вы ведь с этого начали, нет?

[grandmix]

всё всё! ! Убедили!!! :)

[grandmix]

не подскажете теперь , как действовать при точке a = бесконечность. ??

[Human]

grandmix в сообщении #556835 писал(а):

не подскажете теперь , как действовать при точке a = бесконечность. ??

Например, замените $z$ на $\frac1t$, и разложите аналогично полученную дробь в окрестности нуля, потом вернитесь к замене.

[grandmix]

Human, спасибо, всё получилось!)
Тут вот попалась задача , к которой не могу найти подход
$\frac{\sin(\pi{z}^{2})}{\sin(\pi{z})}$
надо разложить в окрестности a=0;
я начал по формуле Тейлора расписывать эту функцию. Нахожу производную для коэффициента слагаемых. Вот одна из них, первая производная
$\frac{2\pi{z}\cdot\cos(\pi{z}^{2})\sin(\pi{z})-\pi\cdot\sin(\pi{z}^{2})\cos(\pi{z})}{\sin^{2}(\pi{z}^{2})}$
и в точке z=0 , получаю 0
Проверяю через вольфрам альфа. У него всё выходит и он говорит, что вся эта вещь равна 1. Правда у него производная имеет следующший вид


Где я не прав?

[alcoholist]

grandmix в сообщении #557332 писал(а):

первая производная
$\frac{2\pi{z}\cdot\cos(\pi{z}^{2})\sin(\pi{z})-\pi\cdot\sin(\pi{z}^{2})\cos(\pi{z})}{\sin^{2}(\pi{z}^{2})}$
и в точке z=0 , получаю 0
Проверяю через вольфрам альфа. У него всё выходит и он говорит, что вся эта вещь равна 1. Правда у него производная имеет следующший вид
Изображение
Изображение
Где я не прав?

В знаменателе $(\sin{\pi z})^2$

предел при $z\to 0$ у этой производной действительно равен $1$ (числитель и знаменатель эквивалентны $\pi^2z^2$).

[ewert]

Достаточно того, что исходная дробь эквивалентна $z$ с учётом аналитичности, конечно).

[grandmix]

Для первой производной действительно удается найти предел. Но вот уже для второй получаются очень большие слагаемые и действовать дальше довольно затруднительно. Есть ли другие варианты разложить эту функцию в ряд ?

[ewert]

grandmix в сообщении #557889 писал(а):

Есть ли другие варианты разложить эту функцию в ряд ?

Есть -- разделить ряд в числителе на ряд в знаменателе:

$\dfrac{a_0+a_1z+a_2z^2+\ldots}{b_0+b_1z+b_2z^2+\ldots}=c_0+c_1z+c_2z^2+\ldots\ \ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ \ a_0+a_1z+a_2z^2+\ldots=(c_0+c_1z+c_2z^2+\ldots)(b_0+b_1z+b_2z^2+\ldots)$

(заведомо нулевые слагаемые выписывать, разумеется, не обязательно). Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим цепочку рекуррентных соотношений для неизвестных $c_k$.