Сходимость по мере произведения сходящихся(по мере) функций.

[Retq]

$(X,A,\mu)$ - пространство с мерой. $f_n$ и $g_n$ заданы на $X$. $f_n \rightarrow f и g_n \rightarrow g$ по мере $\mu$. Верно ли, что $f_ng_n \rightarrow fg$ по мере $\mu$ ?

Когда $\mu(X) < +\inf$, то с помощью теорем Лебега и Рисса получаем, что это так.
В Википедии говорится, что это так при конечной мере.
Есть пример с бесконечной мерой, когда это не так?

[Хорхе]

Пример есть, но я не дам

Дам Вам возможность самому придумать. Жирная подсказка: последовательность $f_n$ можно взять вообще постоянной, а последовательность $g_n$ -- равномерно сходящейся к нулю.

[Retq]

Хорхе в сообщении #557169 писал(а):

Последовательность $f_n$ можно взять вообще постоянной, а последовательность $g_n$ -- равномерно сходящейся к нулю.

Если $f_n =\operatorname{const}$, $g_n$ равномерно сходится к $g=0$, то $f_ng_n = \operatorname{const} \cdot g_n$ тоже равномерно сходится к $0=fg$, т. е. сходится по мере к $fg$.

[Хорхе]

Не функции взять постоянными, а последовательность. $f_1(x) = f_2(x) = \cdots = f_n(x) = \cdots = f(x)$.

[Retq]

Например, $X=[1,+\inf)$, f_n(x) = f(x) = x^2, $g_n(x)=1/nx$, $f_ng_n=x/n$ не сходится к нулю по мере.
Спасибо.