Трубка

[dovlato]

Длинная круглая тонкостенная трубка долгое время находится в однородном магнитном поле,
с линиями, параллельными оси трубки. Внезапно внешнее поле отключается.
Оценить время, в течение которого поле будет ещё оставаться внутри трубки,
если омическое сопротивление одного её погонного метра равно $r .$
У меня получилось $\tau=\frac{\mu_0}{8\pi r}$
Может, кто проверит. Пользовался энергетическими соображениями.

[obar]

У меня получилось вдвое большее значение.

[dovlato]

Я догадываюсь, почему у нас расхождение вдвое. Я на самом деле вычислял постоянную времени для $B^2$, а квадрат, конечно, падает быстрее $B$.

[obar]

dovlato в сообщении #556637 писал(а):

Я на самом деле вычислял постоянную времени для $B^2$, а квадрат, конечно, падает быстрее $B$.

Я рассматривал затухание тока, который возбуждается в трубе после выключения магнитного поля. Вычислял двумя способами: один раз просто посчитал $L/R$, а второй раз из энергетических соображений. В обоих случаях результаты совпали и вдвое превышают ваше значение. Поскольку магнитное поле в трубе пропорционально току, то постоянная времени по току (а значит и для $B$) будет вдвое больше, чем для $B^2$. Но в таком случае следует оговаривать, что именно имеется ввиду.

[dovlato]

Да, не сразу об этом подумал. Спасибо.
Кстати, уверен, что для круглого сечения затухание самое медленное.

[obar]

dovlato в сообщении #556700 писал(а):

Кстати, уверен, что для круглого сечения затухание самое медленное

Возможно, вы правы. Из формулы $\tau=L/R$ и очевидного факта, что сопротивление от формы сечения не зависит (при фиксированной площади) следует, что время затухания определяется индуктивностью. Поскольку индуктивности ни как не связана с сопротивлением, то рассмотрим цилиндр из сверхпроводника (для тонкостенного цилиндра это не существенно). Если слегка деформировать его до эллиптического сечения (с сохранением площади), то для этого потребуется положительная работа против амперовых сил. Эта работа пойдет на увеличение энергии магнитного поля. Но поскольку в сверхпроводнике поток сохраняется, а $W=\frac{\Phi^2}{2L}$, то индукция уменьшается, а с ней и время затухания.
Интересно, а какие соображения были у вас?

[dovlato]

Чисто энергетические. Действительно, если мы будем деформировать поперечное сечение полости трубки, то сопротивление её стенок от этого никак не изменится. И, следовательно, при заданном токе рассеиваемая тепловая мощность - тоже. Эта энергия отнимается от магнитного поля, для которого начальная индукция задана. Следовательно, максимальная начальная энергия поля соответствует максимуму поперечной площади полости трубки. А при заданном периметре максимум фигуры - у круга.

[obar]

При таком рассмотрении предполагается, что величина магнитного поля в трубе от формы сечения не зависит. Можно допустить такую возможность, что убыль объема при деформации компенсируется приростом самого поля.

[obar]

Что-то меня занесло в дебри. А ведь все действительно просто.
Для бесконечной трубы постоянного сечения магнитное поле внутри однородно и при заданном токе от формы сечения не зависит. Отсюда сразу следует, что максимальную индуктивность при заданном периметре имеет круглая труба (а значит и максимальное время затухания). Можно сформулировать и точную зависимость: отношение времен затухания равно отношению площадей поперечных сечений (при фиксированном периметре).

[dovlato]

Да, я рассуждал так же. Подумалось ещё вот о чём. Давление поля, как и плотность его энергии равно $B^2/2\mu_0$. Значит, при выключении внешнего поля трубка может и разорваться, если её стенки слишком слабые. И наоборот, если сначала поля не было, а потом его включают, то трубку может и сплющить.

[obar]

dovlato в сообщении #556905 писал(а):

И наоборот, если сначала поля не было, а потом его включают, то трубку может и сплющить.

Это почему же? Нет. Включение поля принципиально ни чем не отличается от выключения. Те же процессы. Ну, изменится направление тока в трубе. Но по-прежнему давление поля в трубе будет ее разрывать.

[dovlato]

Вот именно, направление тока изменилось. Тогда как направление поля - нет. Следовательно, сила, действующая на стенку, изменит направление - она станет смотреть внутрь.
Честно говоря, я в предыдущий раз писал о сжатии трубки, даже и не задумываясь - что там куда направлено.. просто сработало интуитивное убеждение, что поле всегда пытается занять те области, где его нет, вроде газа.

[romka_pomka]

obar в сообщении #556773 писал(а):

$W=\frac{\Phi^2}{2L}$

Подскажите пожалуйста, как посчитать погонную индуктивность трубки?

[dovlato]

romka_pomka в сообщении #557604 писал(а):

obar в сообщении #556773 писал(а):

$W=\frac{\Phi^2}{2L}$

Подскажите пожалуйста, как посчитать погонную индуктивность трубки?

Пожалуй, сразу и не скажу. Это лучше обратиться к Obar, т.к. он это понятие использовал. Я же рассматривал токи, развивающиеся в трубке при исчезновении внешнего магнитного поля. А именно, погонная плотность тока равна $\frac {dI}{dx} =\frac{B}{\mu_0}$

[romka_pomka]

dovlato в сообщении #557612 писал(а):

Я же рассматривал токи, развивающиеся в трубке при исчезновении внешнего магнитного поля. А именно, погонная плотность тока равна $\frac {dI}{dx} =\frac{B}{\mu_0}$

А как, зная погонную плотность тока, узнать время затухания магнитного поля?