Теорема о том что матричная экспонента является матрицантом

[molchanoviv]

Субж. Помогите плиз. Как звучит эта теорема? Накидайте пожалуйста материала по теме. Желательно ткните носом именно в эту теорему. А то я пытался гуглить, но меня ждал фейл. :(

[Nimza]

Матрицант -- это фундаментальная матрица; решение следующей матричной задачи Коши

$$ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial t} X(t,\tau) = A X(t,\tau), \\ X(\tau,\tau) = I \end{array} $$

Вот и утверждается, что если определить функцию $X(t,\tau) = e^{A(t-\tau)}$, то эта функция будет удовлетворять системе выше.

[molchanoviv]

спасибо. а можно поподробнее желательно с доказательством, или еще лучше указанием на эту теорему в какой нибудь умной книжке.

[ewert]

Смотря как определять матричную экспоненту. В конце концов, под ней можно просто по определению понимать соотв. решение системы ДУ. Если же (как это обычно и делается) определять экспоненту через ряд Тейлора, то всё сводится к возможности формального дифференцирования этого ряда по времени; а можно дифференцировать просто потому, что ряд до и после дифференцирования сходится равномерно -- ровно так же, как и в скалярном случае.

[Munin]

ewert в сообщении #555156 писал(а):

Смотря как определять матричную экспоненту. В конце концов, под ней можно просто по определению понимать соотв. решение системы ДУ.

По крайней мере, интуитивно такое понимание проще и удобнее. Ну, мне лично.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #555482 писал(а):

По крайней мере, интуитивно такое понимание проще и удобнее. Ну, мне лично.

Ну, логически ещё один маленький пируэт (хоть и тривиальный) тут всё-таки нужен: указание на групповое свойство фундаментальной матрицы. Несколько хуже другое. Если формально определить экспоненту как ряд, то её удовлетворение системой ДУ (и, как следствие, групповое свойство) проскакивает уже на автомате. На шаблонных свойствах рядов; всё, что для этого нужно знать -- это лишь понятие нормы матрицы. А вот если наоборот (доказать разложимость в ряд решения ДУ) -- так сходу и не скажу как. А ведь выводить-то так или иначе надо. Я просто ни разу такой подход не пробовал.

Но это, наверное, и впрямь лишь дело вкуса.

[Munin]

(Оффтоп)

Я не сказал, что такое понимание удобно как настоящее определение, и на нём хорошо строить строгое и последовательное изложение курса. Оно удобно (для меня лично, повторюсь) именно как интуитивное: мы представляем себе, как отходим от единичной матрицы (aka тождественного преобразования) на небольшой шажок, а потом продолжаем это дальше как "последовательность шажков", и разбираемся, куда это нас заводит. Например, понятно, почему экспонента от эрмитовой (симметричной) матрицы эрмитова (симметричная), а от антиэрмитовой (кососимметричной) - унитарна (ортогональна). Понятно, почему экспонента никогда не вырождена, понятно, как выглядит решение уравнения $X^a=A,$ etc.

Но можно не принимать это буквально за определение, а определять экспоненту всё так же через ряд, но проскакивать галопом, быстро перейти к свойству быть решением ДУ, и вот после этого задержаться надолго, и нарабатывать интуитивные представления долго и со вкусом.