Inequality

[ins-]

Let $a$, $b$, $c$ are positive reals. Prove the following inequality.

$ \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} $

Is it a well known problem?

[griboedovaa]

Василий криотаже titu andreescku kniga vrode bu

[ins-]

Thank you very much. The source of the problem is: "Vasile Cirtoaje - Gazeta Matematika". I took at the look at this book long time ago and probably I remembered the inequality. I had the feeling I saw it somewhere.

[Sergic Primazon]

$ a,b,c >0$ and $ x > 0$

$ f(x)= \frac {a^x}{b^x + c^x}+\frac {b^x}{c^x + a^x}+\frac {c^x}{a^x + b^x}$

We can assume : $ a \ge b \ge c > 0$

$f'(x)= a^xb^x\ln (\frac{a}{b})(\frac{1}{(b^x+c^x)^2}-\frac{1}{(c^x+a^x)^2}) +b^xc^x\ln (\frac{b}{c})(\frac{1}{(c^x+a^x)^2}-\frac{1}{(a^x+b^x)^2}) +$$c^xa^x\ln (\frac{c}{a})(\frac{1}{(a^x+b^x)^2}-\frac{1}{(b^x+c^x)^2}) \ge 0$

So $ f(s) \ge f(t)$ for $ s >t >0$ , ( equality for : $ a=b=c$ )

[ins-]

The solution from the book is very beautiful. It is like this one: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9#p2646119

[MrDindows]

Sergic Primazon в сообщении #554201 писал(а):

$f'(x)= a^xb^x\ln (\frac{a}{b})(\frac{1}{(b^x+c^x)^2}-\frac{1}{(c^x+a^x)^2}) +b^xc^x\ln (\frac{b}{c})(\frac{1}{(c^x+a^x)^2}-\frac{1}{(a^x+b^x)^2}) +$$c^xa^x\ln (\frac{c}{a})(\frac{1}{(a^x+b^x)^2}-\frac{1}{(b^x+c^x)^2}) \ge 0$

А почему оно больше нуля?)

[Sergic Primazon]

MrDindows в сообщении #554243 писал(а):

Sergic Primazon в сообщении #554201 писал(а):

$f'(x)= a^xb^x\ln (\frac{a}{b})(\frac{1}{(b^x+c^x)^2}-\frac{1}{(c^x+a^x)^2}) +b^xc^x\ln (\frac{b}{c})(\frac{1}{(c^x+a^x)^2}-\frac{1}{(a^x+b^x)^2}) +$$c^xa^x\ln (\frac{c}{a})(\frac{1}{(a^x+b^x)^2}-\frac{1}{(b^x+c^x)^2}) \ge 0$

А почему оно больше нуля?)

тут все 3 слагаемых положительны )

[MrDindows]

Sergic Primazon в сообщении #554410 писал(а):

MrDindows в сообщении #554243 писал(а):

Sergic Primazon в сообщении #554201 писал(а):

$f'(x)= a^xb^x\ln (\frac{a}{b})(\frac{1}{(b^x+c^x)^2}-\frac{1}{(c^x+a^x)^2}) +b^xc^x\ln (\frac{b}{c})(\frac{1}{(c^x+a^x)^2}-\frac{1}{(a^x+b^x)^2}) +$$c^xa^x\ln (\frac{c}{a})(\frac{1}{(a^x+b^x)^2}-\frac{1}{(b^x+c^x)^2}) \ge 0$

А почему оно больше нуля?)

тут все 3 слагаемых положительны )

Действительно, я не учёл, что логарифм меняет знак)