Предел,помогите пожалуйста разобраться!

[Human]

bot в сообщении #554182 писал(а):

Так $\lim\limits_{x\to \infty}(7-6\cos x)^{\frac{1}{\sin^{23}x}}$ или так $\lim\limits_{x\to \infty}(7-6\cos x)^{\frac{1}{\sin^{2}3x}}$ ?

В любом случае оба предела не существуют, может имелось в виду при стремлении к нулю?

-- 31.03.2012, 16:49 --

(Оффтоп)

bot в сообщении #554182 писал(а):

$Latex$

По-хорошему надо $\LaTeX$

[karrapot]

Да стремление к 0, и там 6 делить на косинус

[bot]

Неопределенности типа $1^\infty$ раскрывают либо непосредственным сведением ко второму замечательному либо логарифмированием сводят к $\infty\cdot 0$. Второй вариант менее громоздок и, кроме того, открывает новые возможности - использование эквивалетных бесконечно малых, Тейлора, Лопиталя, ...
Сам второй замечательный путём логарифмирования даёт эквивалентность $\ln x \sim x-1$ при $x\to 1$

[karrapot]

понятно,мне думаю лучше попробовать свести ко второму замечательному пределу т к Тейлора,Лопиталя не проходили

[Human]

karrapot в сообщении #554216 писал(а):

понятно,мне думаю лучше попробовать свести ко второму замечательному пределу т к Тейлора,Лопиталя не проходили

Ну а хотя бы всякие эквивалентности при стремлении к нулю, типа $\sin x\sim\tg x\sim\arcsin x\sim\arctg x\sim\ln(1+x)\sim x$, $\cos x\sim1-\frac{x^2}2$, $(1+x)^{\alpha}\sim1+\alpha x$ были?

[karrapot]

Human
нет и этого не было

-- 31.03.2012, 19:32 --

а вот если приводить ко второму замечательному приделу,то нужно -1 и +1

[bot]

Да Вам только две и понадобятся: $\sin x\sim x$ и $\ln (1+x)\sim x$ - обе при $x\to 0$, соответственно вытекающие из первого и второго замечательных пределов. Про второй я уже выше сказал в максимально приспособленной к данному случае форме.

(Оффтоп)

сами студенты почему-то единичку выделяют с трудом, если её нет в явном виде

[karrapot]

bot
вот делаю я делаю,но не знаю,какая то у меня чушь выходит и ничего вразумительного

[Human]

$$\lim\limits_{x\to 0}\left(7-\frac6{\cos x}\right)^{\frac{1}{\sin^{2}3x}}=\left(\lim\limits_{x\to 0}\left(\left(1-\dfrac{12\sin^2\frac x2}{\cos x}\right)^{\dfrac1{-\frac{12\sin^2\frac x2}{\cos x}}}\right)\right)^{-\dfrac13\dfrac{\left(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin\frac x2}{\frac x2}\right)^2}{\left(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin3x}{3x}\right)^2\lim\limits_{x\to 0}\cos x}}=e^{-\frac13}$$

Надеюсь меня за это не забанят

[Praded]

Не то решали, ведь:

karrapot в сообщении #554208 писал(а):

Да стремление к 0, и там 6 делить на косинус

[Human]

Praded в сообщении #554264 писал(а):

Не то решали

Я уже поправил, опечатался.

[karrapot]

Human
большое спасибо,нашел ошибку

[Human]

karrapot в сообщении #554268 писал(а):

Human
большое спасибо,нашел ошибку

Не за что.

[bot]

А теперь на этом примере покажем, что

bot в сообщении #554214 писал(а):

Второй вариант менее громоздок

$F=(7-\frac6{\cos x})^{\frac{1}{\sin^{2}3x}}\Leftrightarrow \ln F=\frac{\ln (7-\frac6{\cos x})}{\sin^{2}3x}$

$\ln F\sim \frac{6-\frac6{\cos x}}{9x^2}=-\frac23\cdot \frac{1-\cos x}{x^2\cos x}\sim -\frac23\cdot \frac{x^2/2}{x^2}=-\frac13\Rightarrow $

$\Rightarrow \lim\limits_{x\to 0}F=\lim\limits_{x\to 0}e^{\ln F}=e^{\lim\limits_{x\to 0}{\ln F}}=e^{-\frac13}$

(Оффтоп)

Тоже пришлось переправлять $6\cos x$ на $\frac{6}{\cos x}$