Сходится - не сходится?

[Ktina]

Сходится ли ряд?
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, где $a_n= \int\limits_0^{\frac{1}{n}}\frac{\arctg\sqrt x}{x+1} dx$, $n\in\mathbb N$

(из белорусских студенческих олимпиад)

[Arcanine]

Кажись расходится...

[ИСН]

(Оффтоп)

Arcanine, свою задачу доделайте сначала, а потом вводите девушек в заблуждения.

[hippie]

Ответ: Сходится.

Псокольку $0< \frac{\arctg \sqrt x}{x+1} < \sqrt x,$ то $0 < \int\limits_0^{\frac{1}{n}}\frac{\arctg\sqrt x}{x+1}\, dx < \int\limits_0^{\frac{1}{n}} \sqrt x\, dx = \frac 2{3n\sqrt{n}}.$

[Arcanine]

$a_n=\int\limits_0^\frac{1}{n} (\arctg\sqrt x)d(\arctg\sqrt x)=\int\limits_0^\arctg \frac{1}{\sqrt n}$$tdt=\frac{t^2}{2}|^0_\arctg \frac{1}{\sqrt n}=\frac{1}{2}\arctg^2\frac{1}{\sqrt n}$
Так не пойдет?

[Cash]

Arcanine, у вас ошибка.
попробуйте не перескакивать, а вначале сделать замену $t=\sqrt x$

[Arcanine]

Cash так то же самое получается.

[ewert]

Arcanine в сообщении #552589 писал(а):

Cash так то же самое получается.

Корень потерян.

[Arcanine]

Cash пардон.
ewert нашел теперь ошибку.