Исследовать на сходимость по определению интеграл

[Tkas]

$\int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{x}-4x+5\sqrt{x}}$
Провел замену $\sqrt{x} = t$. Соответственно получилось ${x} = t^2$, а $dt=1/2 \sqrt{x} $. В знаменателе получилось $t^{4} - 4t^{3} - 5t^{2}$. Каково будет верное решение?

[GAA]

Tkas, правильно выполните замену. Например, $dx = 2tdt$, ...

[Tkas]

GAA
Сделал.$2 \int_1^ \infty dt/t^{2} -4t +5$
А как дальше?

[Алексей К.]

Дальше просто, по учебнику. Интегрирование рациональных функций, так, кажется, это называется.
Не помешает заметить, что $t^2-4t+5=(\underbrace{t^2-4t+4}_?)+1^\strut^\strut^\cdot$. Устно решается, табличная функция.

[Tkas]

Алексей К.
Подскажите пожалуйста с ответом:
$ \frac{1}{2} \int_a^ \infty \frac{d(t-2)}{(t-2)^2} = \lim_{t \to \infty } ((\arctg(t-2)) =\lim_{t \to \infty }((\arctg(t-2) + \arctg(1)) = \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{4}$
И еще у нас есть 1/2 перед интегралом. Ммм, в скобках + должен быть?

[AKM]

Доисправил \arctg, вернул из карантина.

[alcoholist]

Tkas

Tkas в сообщении #552388 писал(а):

Подскажите пожалуйста с ответом:
$ \frac{1}{2} \int_a^ \infty \frac{d(t-2)}{(t-2)^2} = \lim_{t \to \infty } ((\arctg(t-2)) $

неправильно

[Tkas]

alcoholist
А вы можете сказать в чем именно? Да, в знаменателе еще есть +1 и нижняя граница будет не а, а 1)

[alcoholist]

ну, надо слова какие-то сказать.... а то у Вас формальная расходимость где-то в середине пути

[bot]

И появилась она ошибочно.

[Алексей К.]

Ну Вы, беря интеграл, как бы завели себе новую переменную $u=t-2$. Хотя явно этого писать не стали. А лучше написать, меньше ошибок будет. И ежели $t$ меняется от 1 до 999999, или там до $\infty$, то $u$ меняется в пределах... каких?
И определённый интеграл (от а до бэ) равен чему?
Запишите всё аккуратно (начиная с этого места), с исправленным знаменателем. Проблемная точка у Вас не нижняя граница отрезка интегрирования, а верхняя.

[Tkas]

Алексей К.
$ \int_1^ \infty \frac{2tdt }{ t^{3} - 4t^{2} + 5t } = 2 \int_1^ \infty \frac{dt}{ t^{2} - 4t + 5 } = 2 \int_1^ \infty \frac{dt}{(t ^{2} - 4t +4) + 1} = 2 \int_1^ \infty \frac{d(t-2)}{(t-2) ^{2} + 1 } = 2 \lim_{t \rightarrow \infty } (arctg(t-2) - arctg(-1)) = 2( \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{4} ) = 2( \frac{2 \pi }{4} + \frac{ \pi }{4} ) = \frac{3 \pi }{2} $ Вот так верно?
$t-2$ стремится к пи на 2

[Алексей К.]

Верно.

[Tkas]

Алексей К.
Спасибо

[Tkas]

Я запутался в этом месте: в каком случае за интеграл нужно выносить 2, а в каком, например, 1/2?