2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение26.03.2012, 15:54 
$\int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{x}-4x+5\sqrt{x}}$
Провел замену $\sqrt{x} = t$. Соответственно получилось ${x} = t^2$, а $dt=1/2 \sqrt{x} $. В знаменателе получилось $t^{4} - 4t^{3} - 5t^{2}$. Каково будет верное решение?

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение26.03.2012, 17:32 
Tkas, правильно выполните замену. Например, $dx = 2tdt$, ...

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение26.03.2012, 17:42 
GAA
Сделал.$2 \int_1^  \infty  dt/t^{2}  -4t +5$
А как дальше?

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение26.03.2012, 17:55 
Дальше просто, по учебнику. Интегрирование рациональных функций, так, кажется, это называется.
Не помешает заметить, что $t^2-4t+5=(\underbrace{t^2-4t+4}_?)+1^\strut^\strut^\cdot$. Устно решается, табличная функция.

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение26.03.2012, 18:30 
Алексей К.
Подскажите пожалуйста с ответом:
$ \frac{1}{2}  \int_a^ \infty \frac{d(t-2)}{(t-2)^2} = \lim_{t \to \infty }  ((\arctg(t-2)) =\lim_{t \to \infty }((\arctg(t-2) + \arctg(1)) =  \frac{ \pi }{2} +  \frac{ \pi }{4}$
И еще у нас есть 1/2 перед интегралом. Ммм, в скобках + должен быть?

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение26.03.2012, 19:45 
Аватара пользователя
Доисправил \arctg, вернул из карантина.

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение26.03.2012, 22:12 
Аватара пользователя
Tkas

Tkas в сообщении #552388 писал(а):
Подскажите пожалуйста с ответом:
$ \frac{1}{2} \int_a^ \infty \frac{d(t-2)}{(t-2)^2} = \lim_{t \to \infty } ((\arctg(t-2)) $


неправильно

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение26.03.2012, 23:45 
alcoholist
А вы можете сказать в чем именно? Да, в знаменателе еще есть +1 и нижняя граница будет не а, а 1)

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение27.03.2012, 03:16 
Аватара пользователя
ну, надо слова какие-то сказать.... а то у Вас формальная расходимость где-то в середине пути

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение27.03.2012, 06:15 
Аватара пользователя
И появилась она ошибочно.

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение27.03.2012, 10:46 
Ну Вы, беря интеграл, как бы завели себе новую переменную $u=t-2$. Хотя явно этого писать не стали. А лучше написать, меньше ошибок будет. И ежели $t$ меняется от 1 до 999999, или там до $\infty$, то $u$ меняется в пределах... каких?
И определённый интеграл (от а до бэ) равен чему?
Запишите всё аккуратно (начиная с этого места), с исправленным знаменателем. Проблемная точка у Вас не нижняя граница отрезка интегрирования, а верхняя.

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение27.03.2012, 12:38 
Алексей К.
$ \int_1^ \infty  \frac{2tdt }{ t^{3} - 4t^{2} + 5t }  = 2 \int_1^ \infty  \frac{dt}{ t^{2} - 4t + 5 }  = 2 \int_1^ \infty  \frac{dt}{(t ^{2} - 4t  +4) + 1} = 2 \int_1^ \infty \frac{d(t-2)}{(t-2) ^{2} + 1 } = 2 \lim_{t \rightarrow  \infty } (arctg(t-2) - arctg(-1)) = 2( \frac{ \pi }{2} +   \frac{ \pi }{4} ) = 2( \frac{2 \pi }{4}  +  \frac{ \pi }{4} ) =  \frac{3 \pi }{2} $ Вот так верно?
$t-2$ стремится к пи на 2

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение27.03.2012, 14:21 
Верно.

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение27.03.2012, 14:29 
Алексей К.
Спасибо :-)

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость по определению интеграл
Сообщение15.04.2012, 17:21 
Я запутался в этом месте: в каком случае за интеграл нужно выносить 2, а в каком, например, 1/2?

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group