замкнутые подгруппы C и C^*

[podsekalnikov]

1) У нас есть группа $\Bbb C ^{*}$. Нужно перечислить все ее замкнутые подгруппы по умножению.
2) А для группы $\Bbb C$ все ее замкнутые подгруппы по сложению

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении нужно думать, просто воообще подгрупп очень же много, а вот как выбрать среди них замкнутые?

[alcoholist]

podsekalnikov в сообщении #549648 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении нужно думать

Найдите все замкнутые подгруппы у более простых групп $\mathbb{R}$ и $S^1$, а потом подумайте:)

[Профессор Снэйп]

Замкнутые в топологическом смысле, я правильно понял?

Первая задача вообще проста. Надо лишь понять, что замкнуты могут быть лишь подгруппы, модули всех элементов которых равны $1$.

Вторая тоже проста... Если $A$ - замкнутая аддитивная подгруппа в $\mathbb{C}$, то найдётся $U$ - окрестность нуля, для которой $A \cap U = L \cap U$, где $L$ - линейное подпространство в $\mathbb{C}$, рассматриваемом как векторное пространство размерности $2$ над $\mathbb{R}$. Отсюда всё ясно...

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #551933 писал(а):

Первая задача вообще проста. Надо лишь понять, что замкнуты могут быть лишь подгруппы, модули всех элементов которых равны $1$.

Это неверно. Например, подгруппа $G=\{\frac{1}{2^n}\}_{n\in\mathbb Z}$ замкнута в $\mathbb C^\ast$.

-- Вс мар 25, 2012 15:45:21 --

Я так понимаю, нужно найти подгруппы $\mathbb C$, и затем при помощи гомоморфизма $f(x)=e^x$ перенести их в $\mathbb C^\ast$.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #551976 писал(а):

Это неверно. Например, подгруппа $G=\{\frac{1}{2^n}\}_{n\in\mathbb Z}$ замкнута в $\mathbb C^\ast$.

Возможно, Вы правы, а возможно, что и нет. Мне кажется, надо уточнить условие.

Приведённое Вами множество $G$ не замкнуто как подмножество $\mathbb{C}$, но замкнуто как подмножество $\mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$ с топологией, индуцированной топологией на $\mathbb{C}$. Я понял условие задачи так, что группы, которые следует описать, должны быть замкнуты как подмножества $\mathbb{C}$. И почему-то даже не подумал, что при решении вопроса о замкнутости ноль надо выкидывать. Хотя исходное условие задачи, конечно же, допускает и такую трактовку.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Такая трактовка по умолчанию. У нас есть топологическая группа. Надо описать все её замкнутые подгруппы.

[Профессор Снэйп]

Если уж последовательно доводить всё до логического абсурда, то каждая подгруппа замкнута в своей собственной топологии. Так что, чисто формально, ответом на первый пункт задачи можно считать любую мультипликативную подгруппу в $\mathbb{C}^\ast$. Ясно, что в задаче подразумевается другой ответ и что для решения вопроса о замкнутости для подгрупп следует явно указывать пространство, в которое они вложены. Почему это должно быть именно $\mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$, а не всё $\mathbb{C}$, лично мне не очевидно.

[Padawan]

ОК, подождем, что скажет ТС.

[alcoholist]

Профессор Снэйп

Padawan в сообщении #551998 писал(а):

Такая трактовка по умолчанию. У нас есть топологическая группа. Надо описать все её замкнутые подгруппы

-- Пн мар 26, 2012 09:36:33 --

alcoholist в сообщении #551487 писал(а):

Найдите все замкнутые подгруппы у более простых групп $\mathbb{R}$ и $S^1$, а потом подумайте:)

используйте то, что
1) $\mathbb{C}^*$ изоморфно $\mathbb{R}\times S^1$ и изоморфизм является гомеоморфизмом

2) $\mathbb{C}$ изоморфно $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ и изоморфизм является гомеоморфизмом

[Padawan]

alcoholist
Я, честно говоря, не понимаю вашего совета. Допустим, я знаю замкнутные погруппы группы $G$ и группы $H$. Как из них высосать замкнутые погруппы группы $G\times H$?