Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

[p1c]

Здравствуйте!
Необходимо вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
$x^2+z^2=4y$

$x^2+y^2+z^2=12$
Вот что получилось:
Получил уравнение проекции окружности шара на OXZ
$x^2+z^2=8$
Пределы:
$\int\limits_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} dx$ $\int\limits_{x^2+z^2}^{\sqrt{12-x^2-z^2}} dy$ $\int\limits_{0}^{\sqrt{8-x^2}} dz$
Правильно ли я их расставил? И как дальше решать такой интеграл
Видимо стоит перейти к цилиндрическим координатам, где z и y поменять местами?

[ИСН]

Вы нашли весьма экзотический способ не писать слово \sqrt.

[p1c]

ИСН в сообщении #550860 писал(а):

Вы нашли весьма экзотический способ не писать слово \sqrt.

Извиняюсь, не силен в латексе

[mihailm]

в начале x потом z затем y
4 в знаменателе потеряна и z от минуса до плюса
считать в обратном порядке

[ИСН]

Ага, так-то лучше. Теперь по сути: да, сделайте замену на цилиндрические. А ещё лучше - на сферические.

[p1c]

Спасибо за замечания.
Т.е получится вот так?
$\int\limits_{0}^{2\pi} d\phi$ $\int\limits_{p^2/4}^{\sqrt{12-p^2}} dz$ $\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}} p dp$
Но тогда не получится получить нормальный ответ..

[ИСН]

Ну, если правильный ответ не входит в множество тех, которые Вы признаёте нормальными, то тут уж ничего не поделаешь: судьба.

[p1c]

mihailm
Спасибо, получилось вот что:
$\int\limits_{0}^{\sqrt{8}} dx$ $\int\limits_{-\sqrt{8}}^{\sqrt{8}} dz$ $\int\limits_{(x^2+z^2)/4}^{\sqrt{12-(x^2+z^2)}} dy = $ $\int\limits_{0}^{2\pi} d\phi$ $\int\limits_{0}^{\sqrt{8}} p dp$ $\int\limits_{p^2/4}^{\sqrt{12-p^2}} dz = 8.2 $

[mihailm]

p1c в сообщении #550922 писал(а):

mihailm
Спасибо, получилось вот что:
$\int\limits_{0}^{\sqrt{8}} dx$ $\int\limits_{-\sqrt{8}}^{\sqrt{8}} dz$ $\int\limits_{(x^2+z^2)/4}^{\sqrt{12-(x^2+z^2)}} dy = $ $\int\limits_{0}^{2\pi} d\phi$ $\int\limits_{0}^{\sqrt{8}} p dp$ $\int\limits_{p^2/4}^{\sqrt{12-p^2}} dz = 8.2 $

ну левая часть не то, а средняя более менее, хотя
буковку z лучше заменить на y (но это не существенно), а вот ответ неудачный

[p1c]

mihailm
Не могли бы Вы показать как правильно левую часть составить, как я понимаю ошибка при dx..?

Вольфрам такое в ответе выдает, я взял десятичное значение..
$2 \pi (-8/3+8 \sqrt{3}-\pi^2)$

[mihailm]

p1c в сообщении #550947 писал(а):

mihailm
Не могли бы Вы показать как правильно левую часть составить, как я понимаю ошибка при dx..?

долго объяснять, вкратце же я написал как, да и не обязательно это, начните сразу со второго выражения оно правильное (почти) только уж сами посчитайте