Сколько всего сепарабельных метрических пространств?

[Padawan]

Любое сепарабельное метрическое пространство можно изометрично вложить в $C[0,1]$ (теорема Банаха-Мазура).Поэтому корретным является следующий вопрос:
Сколько существует попарно неизометричных полных сепарабельных метрических пространств? Я думаю, что их континуум. Во всяком случае, из упомянутой выше теоремы следует, что их не более, чем $2^\text{континуум}$.

[Хорхе]

Все правильно, континуум.

Если сепарабельное пространство $S$ уже лежит в $C[0,1]$, то счетное всюду плотное множество лежит там же, а $S$ сопадает с его замыканием. Ну а счетных подмножеств в $C[0,1]$ континуум.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #549354 писал(а):

Любое сепарабельное метрическое пространство можно изометрично вложить в $C[0,1]$ (теорема Банаха-Мазура)

А разве в теореме Банаха-Мазура речь идет о метрических пространствах, а не о банаховых? А где про такю версию теоремы Б-М прочитать?

[Padawan]

Да. Можно еще так -- полные сепарабельные пространства -- это в точности замкнутые подмножества $C[0,1]$. А их континуум.
А вот если от полноты отказаться, то уже на прямой можно понастроить булеан континуума попарно неизмометрических. Или нельзя?

Oleg Zubelevich
В Люстернике-Соболеве

[Хорхе]

Ну там какой-то тривиальный пример можно взять, вроде $\{0\}\cup\{1\}\cup{}$ любое подмножество $[0,1/2)$. Они все попарно неизоморфны.

-- Сб мар 17, 2012 18:01:31 --

Кстати, таким образом мы получаем достаточно много примеров несепарабельных подпространств сепарабельного пространства

[Padawan]

Хорхе в сообщении #549371 писал(а):

Кстати, таким образом мы получаем достаточно много примеров несепарабельных подпространств сепарабельного пространства

У сепарабельного пространства (метрического) любое подпространство сепарабельно.

[Oleg Zubelevich]

Хорхе
читайте Люстерника Соболева, потом будем по нему Padawan
-у экзамен сдавать

[Хорхе]

Тьфу ты, дурню написал. Но пример правильный