Десять тысяч чисел из одного

[Ktina]

Существуют ли 10000 попарно различных десятизначных натуральных чисел, делящихся на 7, любые два из которых могут быть получены друг из друга перестановкой цифр?

[hippie]

Будем рассматривать только числа, в записи которых использованы все 10 цифр.
Одна из трёх первых цифр — 7; другая — либо 1 либо 8; третья — либо 2 либо 9.
Оставшиеся 7 цифр дают 7 разных остатков при делении на 7.
Разобьём их на орбиты, по 7 чисел в каждой.
Каждый из остатков от деления семи последних цифр увеличим на 1, и заменим на цифру из множества семи последних цифр, дающую тот же остаток. Повторив это 7 раз получим исходное число. Числа от исходного до шестого образуют орбиту.
Остаток от деления на 7 каждого следующего числа в орбите равен остатку предыдущего увеличенному на 1111111=1 (т.к. 1111110 кратно 7).
Таким образом, в каждой орбите найдётся ровно одно число, кратное 7.

Первые 3 цифры можно выбрать 24 способами; последние 7 — 5040 способами, из которых подходят 720 (т.к. 5040 чисел образуют 720 орбит).
Следовательно, существует искомое множество из не менее чем из $24\cdot720>20\cdot500=10000$ чисел.

(Оффтоп)

С точки зрения теории вероятностей:
Всего есть $9\cdot9! =3265920$ чисел, в записи которых использованы все 10 цифр. В среднем, они дают все остатки от деления на 7 по 466560 раз.

[temp03]

(Оффтоп)

А можно спросить? Вот вы пишите "10000 попарно различных", а если будет 10000 потройно различных, это будет как?

[Ktina]

temp03 в сообщении #546782 писал(а):

(Оффтоп)

А можно спросить? Вот вы пишите "10000 попарно различных", а если будет 10000 потройно различных, это будет как?

(Оффтоп)

Скажем, числа 1, 2, 3, 1, 4, 5, 6, 7 - потройно различны, но не попарно различны.

[temp03]

(Оффтоп)

Т.е. $1,2,1,7,7,2$ попарно различны?

[Ktina]

temp03 в сообщении #546788 писал(а):

(Оффтоп)

Т.е. $1,2,1,7,7,2$ попарно различны?

(Оффтоп)

Нет.
Попарно различны - это когда нет двух одинаковых.

[temp03]

Ktina в сообщении #546833 писал(а):

(Оффтоп)

Попарно различны - это когда нет двух одинаковых.

(Оффтоп)

А потройно различных это когда нет трёх одинаковых?

[Ktina]

temp03 в сообщении #546842 писал(а):

(Оффтоп)

А потройно различных это когда нет трёх одинаковых?

(Оффтоп)

Так точно.

[temp03]

(Оффтоп)

Но ведь среди чисел 1, 2, 3, 1, 4, 5, 6, 7 - есть три одинаковых. Почему они потройно различны?

[Ktina]

temp03 в сообщении #546851 писал(а):

(Оффтоп)

Но ведь среди чисел 1, 2, 3, 1, 4, 5, 6, 7 - есть три одинаковых. Почему они потройно различны?

(Оффтоп)

Какие три одинаковых?

[temp03]

(Оффтоп)

Первая единица с двойкой и тройкой и вторая единица (эл-т №4) с двойкой и тройкой.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Вы не так поняли определение. Хотя я не очень понимаю, есть ли смысл в потройной различности.