Непонятное свойство векторного произведения

[NeveX]

Разбираясь в доказательстве теоремы, наткнулся на такое свойство векторного произведения:

$ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{b} = \vec{c} + \mu\vec{a} $

Перерыл пол-интернета, нигде такого не встретил. Хотелось бы узнать вывод этого свойства, чтобы понять смысл $\mu$.

[AV_77]

$\mu$ это какая-то константа (скаляр).

[ewert]

А Вы перепишите его в другом виде:

$ \vec{a} \times (\vec{b}-\vec{c})=\vec0\ \Rightarrow\ \vec{b}-\vec{c}=\mu\vec{a} $

(что, кстати, не всегда верно; но Вы уж сами угадайте особый случай)

[bot]

Перенесите право налево, воспользуйтесь дистрибутивностью, ну и ответьте на вопрос: в каком случае векторное произведение равно нулю? Кстати в условии обязано быть $\vec{a}\ne \vec{0}$

[NeveX]

Спасибо за ответы.
Вот только непонятно - почему $\mu\vec{a}$, почему не просто $\vec{a}$?

[ewert]

NeveX в сообщении #545302 писал(а):

Вот только непонятно - почему $\mu\vec{a}$, почему не просто $\vec{a}$?

А с какой стати "просто"-то? -- ведь если уравнение однородно, то оно никак не в силах нарушиться, если его решение умножить на произвольную константу

[alcoholist]

NeveX в сообщении #545302 писал(а):

Вот только непонятно - почему $\mu\vec{a}$, почему не просто $\vec{a}$?

в силу линейности векторного произведения)

Вообще, что можно сказать о векторе $\vec{v}$, если $\vec{a}\times\vec{v}=0$?

[NeveX]

Насколько я понимаю, независимо от коэффициента левая часть обращается в 0. Зачем тогда этот коэфициент вообще нужен?

[ewert]

NeveX в сообщении #545315 писал(а):

Зачем тогда этот коэфициент вообще нужен?

А вот ровно затем и нужен, что именно независимо от него. Попытайтесь всё-таки вдуматься в логику утверждения. Со всеми кванторами (всеобщности и существования).

[alcoholist]

потому, что равенство верно при $\vec{b}=\vec{c}$