Найти k-ю производную

[Sonic86]

Туплю:
$f(x)=\frac{1}{(1-x)\sqrt{1+2x}}$
Нужно в явном виде.
Могу прологарифмировать и найти $a_k=f^{(k)}(0)$ рекуррентно, но надо явно (или рекуррентность можно добить до конца?)

upd: рекуррентность вроде такая:
$a_k=\sum\limits_{j=0}^k C_{k-1}^j(-1)^j(1-2^j)a_j$

[Padawan]

А через разложение? Или Вы наоборот производящую функцию считаете, чтобы сумму вычислить?

[Sonic86]

Padawan в сообщении #545132 писал(а):

Или Вы наоборот производящую функцию считаете, чтобы сумму вычислить?

Угу, сумма $\sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^kC_{2k}^k}{2^k}$, если угодно. Может она проще, но не уверен.

[bot]

А тупо по Лейбницу $(uv)^{(n)}=\sum\limits_{j=0}^n C_n^j u^{(j)}v^{(n-j)}$ не годится?

[Sonic86]

Ну я так и делаю - получается рекуррентность выше. Я ее сильно только не разбирал, может она и решается.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #545137 писал(а):

сумма $\sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^kC_{2k}^k}{2^k}$

Эта сумма может и не свернуться. Maple, во всяком случае, пасует. В "Интегралах и рядах" можно ещё посмотреть, вдруг повезёт.

[Sonic86]

Еще можно попытаться найти такое: $\sum\limits_{k=0}^n \binom{2k}{k}$. Видимо, из той же оперы...
Кнут не помог. Пойду действительно в Градштейна Рыжика гляну.