Вероятность остроугольного треугольника на сфере в R^3

[Sergeant]

На сфере случайным образом выбираются 3 точки. Найти вероятность того, что они являются вершинами остроугольного треугольника.
При выборе точек используется равномерное распределение по поверхности сферы.

Подозреваю, что вероятность равна $1/4$, т.к. такая же вероятность получается, когда точки берутся на окружности, а любое сечение сферы - окружность. Проблема в том, что окружность определяется уже после того, как появились точки. Поэтому, скорее всего, вряд ли можно вот так просто обобщать результат на сферу. Как же всё-таки решать? Помогите разобраться.

[number_one]

А почему вероятность того, что точки на окружности образуют прямоугольный остроугольник $1/4$, у меня получилось $1/8$ (быть может, я не прав)

[Shadow]

(Оффтоп)

number_one в сообщении #545059 писал(а):

прямоугольный остроугольник

Что за животное такое?

[number_one]

(Оффтоп)

Да, дело было вечером, что-то на автомате выдал странное)
Да, все-таки вроде $1/4$, так как вероятность попасть всем 3 точкам на одну половинку $1/8$, а таких половинки - две.

[Whitaker]

Что-то похожее здесь обсуждалось (для случая когда наша фигура - окружность)
http://dxdy.ru/topic55606.html

[Sergeant]

Является ли правильным следующее решение?

Представим, что точки могут попасть только на $n$ заданных сечений сферы. Пусть $A_n$ - событие, означающее, что треугольник остроугольный, $S_i$ - событие, означающее, что точки попали на сечение $i$. Т.к. распределение точек по поверхности равномерно, то распределение по любому сечению будет также равномерным. По формуле полной вероятности $p(A_n)=\sum\limits_{i=1}^np(S_i)p(A_n|S_i)=\frac 1 4\sum\limits_{i=1}^np(S_i)=\frac 1 4$. Т.к. результат не зависит от $n$, то он верен для любого бесконечного несчетного множества сечений.

[PAV]

Нет, такое рассуждение скорее всего неверное. Более того, задачу я не решал, однако думаю, что ответ здесь вполне может отличаться от двумерного. Надо решать честно. Без ограничения общности путем поворота можно считать, что первая точка поставлена на полюс. Затем снова поворотом можно добиться, чтобы вторая точка располагалась на некоторой заданной окружности (зафиксировать сечение). Однако обращаю внимание, что распределение второй точки на этой окружности уже не будет равномерным, поскольку дугам одинаковой длины будет соответствовать области различной площади на сфере. После этого нужно далее уже в произвольное место ставить третью точку.

В общем, здесь нужно аккуратно считать, и скорее всего найти ответ без сравнительно громоздких вычислений не удастся.