Геометрическая задача по теме "Касательная к окружности"

[BENEDIKT]

Окружности с центрами в точках $O$ и $O_1$ пересекаются в т. $A$ и т. $B$. Докажите, что прямая $AB$ перпендикулярна прямой $OO_1$.

С чего начать решение? Отрезок $AB$ есть хорда для обеих окружностей. Но о его равенстве радиусу, за которое можно "зацепиться", ничего не сказано. Как и о равенстве отрезков, на которые делит $AB$ прямая $OO_1$. На что здесь можно опереться?

[gris]

Вообще можно бы из осевой симметрии вывести. Пересечение.

[ewert]

BENEDIKT в сообщении #544557 писал(а):

Отрезок $AB$ есть хорда для обеих окружностей.

Это, кроме того, ещё и общее основание двух равнобедренных треугольников.

[BENEDIKT]

gris в сообщении #544563 писал(а):

Вообще можно бы из осевой симметрии вывести. Пересечение.

Это уже из последующих разделов. Пока не знаю, как это.

ewert в сообщении #544576 писал(а):

Это, кроме того, ещё и общее основание двух равнобедренных треугольников.

Спасибо. Далее, как я понимаю, следует, что $OO_1$ - медиана/биссектриса, а значит, и высота (т. к. тр-ки равнобедр-е). Но как доказать, что $OO_1$ - медиана/биссектриса? Как доказать, что отрезки, на которые $OO_1$ делит $AB$, равны?

[svv]

Опустим из $O$ высоту на $AB$, получим точку $M$. Опустим из $O_1$ высоту на $AB$, получим точку $M_1$.
Так как высоты суть медианы, а середина у $AB$ одна, точки $M$ и $M_1$ совпадают.
А раз $OM$ и $O_1M$ (высоты) перпендикулярны $AB$, то $OMO_1$ не ломаная, а отрезок с точкой $M$ на нем.
Итак, отрезок $OO_1$ перпендикулярен $AB$.

[Shadow]

Рассмотрите треугольники $OO_1A \text{ и } OO_1B$

-- 02.03.2012, 18:26 --

А, svv
еще лучше предложил

[BENEDIKT]

Благодарю за помощь!