ЕГЭ C2

[yonkis]

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Сторона основания равна 8, а высота призмы равна 6. Точка $N$ - середина ребра $AC$. Найдите угол между плоскостями $BCC_1$ и $A_1B_1N$.

[mihailm]

Чертеж для начала сделайте а дальше подскажут

[yonkis]

[VAL]

yonkis в сообщении #543576 писал(а):

На этом чертеже нет плоскости сечения. Для ее построения воспользуйтесь тем, что линии пересечения секущей плоскости секущей плоскости с параллельными плоскостями параллельны.

PS: Если не зацикливаться на школьных методах, проще всего решить средствами аналитической геометрии.

PPS: Но это не значит, что иначе нельзя.

[mihailm]

$A_1N$ тяните до пересечения с $C_1C$

[spaits]

mihailm в сообщении #544427 писал(а):

$A_1N$ тяните до пересечения с $C_1C$

Можно, конечно, тянуть, но проще строить сечение призмы плоскостью $A_1B_1N$, если в плоскости нижнего основания провести $NM$ параллельно $AB$ до пересечения с $CB$. Тогда $CM=CB$, а $NM=\frac{1}{2}\cdot8=4$. Сечение призмы плоскосью $A_1B_1N$ - равнобедренная трапеция $A_1B_1MN$, и при этом $B_1M$ - прямая пересечения плоскостей, угол между которыми нужно найти.
Теперь надо провести плоскость, перпендикулярную $B_1M$ и через какую точку? Пожалуй, лучше выбрать точку $M$. Как? В каждой из указанных плоскостей проведите перпендикуляр к прямой их пересечения$B_1M$.
В плоскости $BCC_1$ этот перпендикуляр обозначу как $MK$, где $K$ - точка пересечения перпендикуляра с $CC_1$.
В плоскости $A_1B_1N$ перпендикуляр к $B_1M$ пересечет продолжение ребра $B_1A_1$ в точке $X$ за пределами призмы (это вытекает из расчета длины отрезка $XB_1$).
Вычислите все три стороны треугольника $XMB_1$, для этого понадобится лишь теорема Пифагора и свойства подобных треугольников. Ну, и потом по теореме косинусов легко найти косинус угла $XMB_1$. Этот угол - искомый.

[spaits]

У топикстартера и к этой задаче пропал интерес.