Helmholtz decomposition contradictions

[Александр Козачок]

The Fundamental theorem of vector calculus, also known as Helmholtz decomposition http://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition , states that any sufficiently smooth, rapidly decaying vector field in three dimensions $ \[ {F} \]$ can be constructed with the sum of an irrotational (curl-free) vector field and a solenoidal (divergence-free) vector field (scalar potential $\[ \varphi \]$ and a vector potential $ \[ {A} \])$

$ \[ {\mathbf{F}} = - \operatorname{grad} \psi + \operatorname{rot} {\mathbf{A}} \Rightarrow {\mathbf{F}} = \operatorname{grad} \varphi + \operatorname{rot} {\mathbf{A}} \] $ (1)

However, the gradient of scalar function does not form the vector field. As well known from textbook [1, p. 15] « … under co-ordinate change the gradient of function transforms differently from a vector »: hence the theory requiring (1) must be false. The next unpleasant things we can see for such well-known classical rules. In mathematics and physics the $ \[ \operatorname{rot} \] $ (or curl) is an operation which takes the vector field $\[ {\mathbf{A}} \] $ and produces another vector field $ \[ \operatorname{rot} {\mathbf{A}} \]$. However it is well-known that $\[ \operatorname{rot} {\mathbf{A}} \]$ is an Antisymmetric Tensor . Therefore under co-ordinate change the tensor $\[ \operatorname{rot} {\mathbf{A}} \]$ transforms differently from a true vector. For elimination of these contradictions the Fundamental theorem of vector calculus can be written as follows:

$ \[ \vec F = \operatorname{grad} \varphi + \operatorname{rot} \operatorname{rot} \vec A \] $(2)

This formula completely corresponds to transformed Navier–Stokes equations (NSE) for incompressible fluids ( $ \[ \operatorname{div} \dot \vec u = 0 \]$ )

$ \[ \rho \vec F - \operatorname{grad} p + \mu \nabla ^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u \Rightarrow \rho (\vec F - \ddot \vec u) = \operatorname{grad} p + \operatorname{rotrot} \mu \dot \vec u \]$ (3)

Here, $\[ \vec F = \vec F_1 + \vec F_2 + ... \]$- vectors sum of a given, externally applied forces (e.g. gravity $ \[ \vec F_1 \] $ , magnetic $\[ \vec F_2 \] $ and other), $\[ p \] $ - pressure (scalar function), $\[ \dot \vec u \] $- velocity vector, $ \[ \ddot \vec u = d\dot \vec u/dt \] $- acceleration vector, $\[ \rho \] $ - density, $ \[ \mu \] $ - viscosity, $\[ \nabla ^2 \] $ - Laplace operator.
Equations (3) and (2) are consistent. Hence there is no reason to say that the theory requiring (2) must be false. As we can see from NSE the sum

$\[ - \operatorname{grad} p + \mu \nabla ^2 \dot \vec u = - (\operatorname{grad} p + \operatorname{rotrot} \mu \dot \vec u) \] $

forms the vector field.
Note that we will receive the formula (2) also after similar transformation of the Navier–Stokes for a compressible fluid and after transformation of the Lame equations for an elastic media.
From this brief note follows that Helmholtz decomposition is wrong and demands major revision.

Therefore I ask to formulate own position on this problem.

1. Dubrovin, B. A.; Fomenko, A. T.; Novikov, Sergeĭ Petrovich (1992). Modern Geometry--methods and Applications: The geometry of surfaces, transformation groups, and fields (2nd ed.). Springer. (p. 15). ISBN 0387976639 http://books.google.com/books?id=FC0QFlx12pwC&pg=PA15

P.S. Я надеюсь, что участники Международного Научного Форума и читатели Рунета простят меня за изложение темы только на одном официальном языке Форума. Изложенная информация вряд ли требует перевода. В случае необходимости такой перевод можно выполнить.

[Circiter]

2Александр Козачок

Цитата:

under co-ordinate change the gradient of function transforms differently from a vector

Strictly speaking, yes, the gradient of a scalar function is not a vector, it is a covector aka 1-form. If a vector is a column-matrix then the corresponding covector is just a row-matrix, and in fact there is no distinction between them. More formally, any bilinear form, like the dot product, gives rise to an isomorphism from a space of vectors to the dual space of covectors, so usually you can freely convert vectors to covectors and vice versa.

Цитата:

However it is well-known that $\operatorname{rot}\mathbf{A}$ is an Antisymmetric Tensor

I think that it is not a problem -- the antisymmetric property follows from inverting under reflection. Moreover, in a 3d-space the curl of a vector field is exactly a vector at each point.

[Munin]

http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual
Проблем никаких не вижу.

[epros]

Александр Козачок в сообщении #531272 писал(а):

hence the theory requiring (1) must be false

Градиент скаляра $\psi$ есть ковариантный вектор:
$a_i = \psi_{,i}$
Чтобы превратить его в контравариантный вектор, достаточно поднять индекс:
$a^i = g^{i j} \psi_{,j}$, где $g_{i j}$ - метрический тензор, а $g^{i k} g_{k j} = \delta^i_j$, здесь $\delta^i_j$ - символ Кронекера.

Ротор ковариантного вектора $A_i$, действительно, есть антисимметричный тензор второго ранга:
$B_{i j} = A_{i ,j} - A_{j ,i}$
Чтобы превратить его в контравариантную тензорную плотность, нужно использовать символ Леви-Чивиты (абсолютно симметричную единичную тензорную плотность):
$\textbf{b}^i = \textbf{e}^{i j k} (A_{j ,k} - A_{k ,j})$

Плотность тоже не совсем то, что нужно, поэтому чтобы получить контравариантный вектор, следует поделить её на корень из определителя метрики:
$b^i = \frac{\textbf{e}^{i j k} (A_{j ,k} - A_{k ,j})}{\sqrt{g}}$, где $g = \textbf{e}^{i j k} \textbf{e}^{l m n} g_{i l} g_{j m} g_{k n}$

И ещё штрих: Чтобы получить ротор от контравариантного вектора $A^i$, нужно сначала опустить его индекс, т.е.:
$b^i = \frac{\textbf{e}^{i j k} [(A^l g_{l j})_{,k} - (A^m g_{m k})_{,j}]}{\sqrt{g}}$

Итак, дифференцированием скалярного поля $\psi$ получаем "истинное" (т.е. контравариантное) безвихревое векторное поле $a^i$, а дифференцированием "истинного" векторного поля $A^i$ получаем "истинное" бездивергентное поле $b^i$. Разумеется, если имеем Евклидово пространство с Декартовыми координатами, то метрика представляется единичной матрицей и всё сильно упрощается.

[Александр Козачок]

Dear Circiter, Munin and epros!

Many thanks for your quick responses and substantial comments!
However I ask you to formulate the conclusions only for rectangular Cartesian co-ordinates, when

epros в сообщении #531445 писал(а):

…...всё сильно упрощается

.

[Munin]

В прямоугольных декартовых (прямоугольность подразумевает скалярное произведение), как вам уже было сказано, ваши пафосные заявления не верны: векторы, 1-формы (ковекторы) и 2-формы (антисимметричные тензоры 2 ранга) - одни и те же сущности.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемый Munin!

Munin Вы в сообщении #532288 писал(а):

В прямоугольных декартовых (прямоугольность подразумевает скалярное произведение), как вам уже было сказано, ваши пафосные заявления не верны

Мои заявления основаны на следствиях, вытекающих из не опровергнутых никем сведений из авторитетных университетских учебников (по поводу градиента, уравнений Навье-Стокса, Ламе…). Поэтому прошу Вас, назовите, пожалуйста, какие из этих сведений и(или) следствий Вы считаете ошибочными, и уточните Ваше определение:

Цитата:

векторы, 1-формы (ковекторы) и 2-формы (антисимметричные тензоры 2 ранга) - одни и те же сущности.

[epros]

Как Вам было уже сказано, в декартовых координатах метрика представляется единичной матрицей. Подставьте в приведённые мной формулы вместо $g_{i j}$ единичные матрицы и посмотрите что получится.

[Munin]

Александр Козачок в сообщении #533411 писал(а):

Мои заявления основаны на следствиях, вытекающих из не опровергнутых никем сведений из авторитетных университетских учебников (по поводу градиента, уравнений Навье-Стокса, Ламе…).

Основаны-то основаны, только с ошибкой. И что дальше? Математика - это не чтение святых писаний, в ней надо кое-что и своей головой понимать. Например, в общем случае неверно, что $a=b,$ но бывают случаи, когда $a=b.$ И вы находитесь именно в таком частном случае, как сами и указали. После этого ссылка на учебники уже не работает.

Александр Козачок в сообщении #533411 писал(а):

уточните Ваше определение

Это не определение, а факт, и верен он исключительно в 3-мерном пространстве со скалярным произведением. Но вы за его рамки и не выходите.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые участники Научного Форума!

Munin в сообщении #533525 писал(а):

Александр Козачок в сообщении #533411 писал(а):

Мои заявления основаны на следствиях, вытекающих из не опровергнутых никем сведений из авторитетных университетских учебников….

Основаны-то основаны, только с ошибкой…

Так укажите, пожалуйста, на эту ошибку, чтобы всем стало понятно, что Вы имеете в виду.

Александр Козачок в сообщении #533411 писал(а):

уточните Ваше определение

Munin в сообщении #533525 писал(а):

Это не определение, а факт, и верен он исключительно в 3-мерном пространстве со скалярным произведением. Но вы за его рамки и не выходите.

Вы снова не договариваете: для исключения неоднозначного толкования поясните фразу «одни и те же сущности».

epros в сообщении #533414 писал(а):

Как Вам было уже сказано, в декартовых координатах метрика представляется единичной матрицей. Подставьте в приведённые мной формулы вместо $g_{i j}$ единичные матрицы и посмотрите что получится.

Тогда я уточню свой вопрос: как изменится эта фраза из Вашего сообщения

epros в сообщении #531445 писал(а):

Итак, дифференцированием скалярного поля $\psi$ получаем "истинное" (т.е. контравариантное) безвихревое векторное поле $a^i$, а дифференцированием "истинного" векторного поля $A^i$ получаем "истинное" бездивергентное поле $b^i$. Разумеется, если имеем Евклидово пространство с Декартовыми координатами, то метрика представляется единичной матрицей и всё сильно упрощается.

с учетом последнего предложения?

[epros]

Александр Козачок в сообщении #534650 писал(а):

epros в сообщении #533414 писал(а):

Как Вам было уже сказано, в декартовых координатах метрика представляется единичной матрицей. Подставьте в приведённые мной формулы вместо $g_{i j}$ единичные матрицы и посмотрите что получится.

Тогда я уточню свой вопрос: как изменится эта фраза из Вашего сообщения

epros в сообщении #531445 писал(а):

Итак, дифференцированием скалярного поля $\psi$ получаем "истинное" (т.е. контравариантное) безвихревое векторное поле $a^i$, а дифференцированием "истинного" векторного поля $A^i$ получаем "истинное" бездивергентное поле $b^i$. Разумеется, если имеем Евклидово пространство с Декартовыми координатами, то метрика представляется единичной матрицей и всё сильно упрощается.

с учетом последнего предложения?

Я не понял, что ещё Вы от меня хотите? Чтобы я подставил в приведённые формулы единичную матрицу и продемонстрировал что получится?

В чём вообще Вы видите проблему? В трёхмерном евклидовом пространстве произвольное векторное поле можно представить как сумму безвихревого и бездивергентного векторных полей. Вы приводили какие-то доводы в пользу того, что градиент и ротор якобы не являются векторами. Вам указали в каком смысле они являются векторами. Что дальше?

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые участники Научного Форума!

Утверждение, что градиент скалярной функции образует истинное векторное поле, передается по наследству, содержится в многочисленных авторитетных учебниках и до настоящего времени ежегодно излагается многим тысячам студентов во всем мире. За три с лишним десятилетия после выхода первого издания учебного пособия «Современная геометрия» (Дубровин Б.А. и др. http://www.newlibrary.ru/download/dubro ... ilozhenija).html) и его английской версии в 1992г. http://books.google.com/books?id=FC0QFlx12pwC&pg=PA15 практически ничего не изменилось. Аргументированные выводы авторов пособия «мы привыкли говорить, что градиент скалярной функции…- это вектор… градиент функции при заменах координат преобразуется иначе, чем вектор» повсеместно замалчиваются, а если по сути, то игнорируются. Это, вероятно, происходит потому, что имеются «строгие» в математическом отношении доказательства, согласно которым градиент скалярной функции образует истинное векторное поле. Поэтому полярные точки зрения по этому поводу многими воспринимаются как недоразумения. Изменить отношение к выводам авторов «Современной геометрии», мне кажется, может только убедительный контрпример. Именно такой контрпимер я предлагаю Вашему вниманию. Ввиду необычайной важности излагаемой ситуации я позволю себе сопроводительный текст к контрпримеру дать в переводе на английский.


Counterexample.

As we well know the divergence of any vector field on Euclidean space is a scalar field. Therefore as an example let's calculate the divergence of an acceleration vector

$\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }} {{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }} {{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }} {{\partial z}} = \frac{\partial } {{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial } {{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial } {{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial } {{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + +\left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x}}} \right)} \right]$ (1)

As we can see this formula can be written as

$\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d} {{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u + (\operatorname{div} \dot \vec u)^2$ (2)

if and only if such equality is true

$\left( {\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x}}} \right) = (\operatorname{div} \dot \vec u)^2 $ (3)

The realization of (3) require such equality:

$\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}}$ (4)

Note that equality (3) can make sense only for $\operatorname{rot} \dot \vec u \ne 0$. In the case $\operatorname{rot} \dot \vec u = 0$ all terms (in brackets) of left-hand side (3) are positive and $\operatorname{div} \dot \vec u = 0$ is impossible. Thus the requirements $\operatorname{rot} \dot \vec u = 0,\operatorname{div} \dot \vec u = 0$ for vector field are inconsistent. As we well know $\dot \vec u = \operatorname{grad} \varphi ,_{} \nabla ^2 \varphi = 0$ , if $\operatorname{rot} \dot \vec u = 0,\operatorname{div} \dot \vec u = 0$

Therefore the vector fields cannot be constructed out of scalar fields using the gradient operator and so-called Laplacian field is not a true vector field.

[Munin]

$$\operatorname{div}\ddot{\mathbf{u}}=\sum_i\frac{\partial(\ddot{\mathbf{u}})_i}{\partial x_i}=\sum_i\frac{\partial(\mathbf{e}_i\ddot{\mathbf{u}})}{\partial x_i}=\sum_i\frac{\partial^3(\mathbf{e}_i\mathbf{u})}{\partial x_i\partial t^2}=\sum_i\frac{\partial^3(\mathbf{e}_i\mathbf{u})}{\partial t\,\partial x_i\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{div}\dot{\mathbf{u}},$$

а то, что написано в post543682.html#p543682 - феерически неверно.

[Someone]

(Оффтоп)

По-моему, эта бредятина (или очень похожая) уже обсуждалась в дискуссионных темах математики и была там закрыта ввиду полной невменяемости автора. Теперь он решил повторить всё в физическом разделе.

[Munin]

(Оффтоп)

Зовём shwedka?