equations

[man111]

find all the complex and real solutions.

$(x+y)(x^2-y^2) = 1176$

$(x-y)(x^2+y^2) = 696$

[ewert]

Сложить, вычесть $\Rightarrow\ (x-y)^3=\ldots$

[spaits]

ewert в сообщении #542725 писал(а):

Сложить, вычесть $\Rightarrow\ (x-y)^3=\ldots$

Ладно.
$x-y=6$, а дальше?

[ewert]

А дальше всё очевидно следует из второго уравнения исходной системы. В комплексном, в принципе, тоже, но там морока с решением комплексного квадратного уравнения.

[spaits]

ewert в сообщении #542891 писал(а):

дальше всё очевидно следует из второго уравнения исходной системы.

Почему из второго? Лучше из первого.
$(x+y)^2=196$.

[ewert]

Да, из первого в комплексном случае проще выйдет (в вещественном -- практически без разницы).

[Dave]

После несложных преобразований получим такую систему:

$$\begin{cases} (x-y)xy=240\\ (x-y)^3=216 \end{cases}$$

Из неё найдём: $x-y=6u$, где $u$ - любой из 3 кубических корней из $1$: $u_1=1, \; u_2=-\frac 1 2 + \frac {\sqrt 3} 2 i, \; u_3=-\frac 1 2 - \frac {\sqrt 3} 2 i$; а также: $xy=\frac {240} {x-y}=\frac {40} u$. Заметим, что из равенства $u^3=1$ следует $u \overline u={\left| u \right|}^2=1$, т.е. $\frac 1 u=\overline u$, а также ${\overline u}^3=1$ и $\overline u=\frac 1 {{\overline u}^2}=u^2$, откуда $\sqrt {\overline u}=\pm u$. Поэтому в каждом случае $xy=40\overline{u}$ и $(x+y)^2=(x-y)^2+4xy=36u^2+160\overline{u}=196\overline{u}$, значит $x+y=\pm 14u$. Отсюда получаем пару решений для кадого из трёх значений $u$: $x=10u, \, y=4u$ и $x=-4u, \, y=-10u$.

[man111]

Thanks friends