Задача с электрической цепью.

[rustot]

интересный результат кстати, через резистор протекает одинаковый заряд до и после размыкания, независимо ни от чего. меняется только направление тока.

Интересно, можно ли было получить такой результат без расчетов, исходя из общих соображений?

[Acapello]

Маленький вопрос по теории:
Если при размыкании ток убывает экспоненциально: $I(t) = I_0 e^\frac{-t R}{L}$ , то почему при замыкании нарастает линейно($I(t) = \frac{U}{L} t$ )? Где все эти формулы можно посмотреть? В справочниках процесс при замыкании только с экспонентой идёт.

[rustot]

тут есть единственная основополагающая формула $U(t) = L \frac{dI}{dt}$ из которой и следует все остальное. когда мы подключаем индуктивность к источнику с фиксированным U то фиксированным становится и $\frac{dI}{dt} = \frac{U}{L}$ - скорость роста тока константа, то есть нарастает он линейно.

если же между источником напряжения и индуктивностью стоит сопротивление, то напряжение на индуктивности перестает быть константой, часть напряжения падает на сопротивлении а часть на индуктивности, причем распределение напряжений зависит от тока и потому непостоянно: $U-I(t) R = L \frac{dI}{dt}$. Тут у нас возникает в одном уравнении и ток и его производная, что приводит к появлению экспоненты в его решении. То же самое когда индуктивность с током замыкают на сопротивление, без дополнительного источника напряжения, просто исчезает $U$

[Acapello]

А как решать подобные уравнения, когда одновременно и функция, и её производная в уравнении? На пальцах как-нибудь объясните, пожалуйста.

[rustot]

на пальцах решение дифференциальных уравнений? :)

ну данное конкретное можно решить интуитивно, исходя из того что $\frac{d}{dt} e^t = e^t$, то есть функция и ее производная имеют одинаковый вид, что как раз соответствует внешне данному уравнению. то есть 'догадавшись' что $I(t)$ должна иметь вид $k_1 e^{k_2 t}$ подобрать нужные коэффициенты чтобы уравнение сошлось

[Acapello]

Есть пища для ума. ;)

Тогда, при разрядке без сопротивления тоже линейный вид: $I(t) = I_0 - \frac{U}{L} t$(до нуля)?
А для конденсатора подобные уравнения(зарядки и разрядки) без сопротивления как выглядят? (С сопротивлением $R$ нашёл в справочниках, тоже через экспоненту)
Пока лучше их буду знать, а как решать - на I курсе научат. :)

[Ilia_]

Acapello в сообщении #541680 писал(а):

А для конденсатора подобные уравнения(зарядки и разрядки) без сопротивления как выглядят? (С сопротивлением $R$ нашёл в справочниках, тоже через экспоненту)
Пока лучше их буду знать, а как решать - на I курсе научат. :)

Обсуждать разрядку конденсатора без сопротивления не вполне корректно - в соседней теме как раз недавно шло бурное обсуждение. Для индуктивности одну зависимость из другой можно получить, устремив $R\to 0$, так как $R$ стоит в числителе показателя экспоненты. А для ёмкости подобное стремление просто даст "мгновенную" зарядку. (При этом тепло, выделяющееся на сопротивлении от $R$ вообще не зависит, и определяется лишь законом сохранения энергии).

А для зарядки конденсатора придётся учитывать внутреннее сопротивление источника. Подобный случай (когда идеализация не срабатывает) тоже обсуждался недавно (см. сообщение Muninа).

Кстати, если пластины заряженного конденсатора замкнуть через индуктивность, получим LC-контур, в котором будут происходит гармонические колебания.

[rustot]

нет, без сопротивления напряжение на катушке 0 а значит $L \frac{dI}{dt} = 0$, то есть ток не меняется. для линейного убывания тока нужно приложить напряжение обратной полярности

[Acapello]

Столкнулся с таким фактом: при похожей схеме(только вместо индуктивности - конденсатор). И сказано, что в начальный момент времени ток течёт только через кондесатор, а через резистор - ни-ни. Тогда, в таком случае, сила тока на конденсаторе какой формуле будет подчиняться? Не мгновенная же зарядка идёт?

[rustot]

при последовательном подключении ток через резистор и конденсатор всегда одинаковы. $I(t) = C \frac{dU_c(t)}{dt} = R U_r(t)$ ну и с учетом что $U_r(t) + U_c(t) = E$ опять получаем дифференциальное уравнение в котором присутствуют и напряжение и его производная.

при параллельном подключении ток через конденсатор бесконечен, так что такое подключение к источнике напряжения некорректно

[Ilia_]

Просто при параллельном подключении стоит учесть внутреннее сопротивление источника.

После применения правил Кирхгофа, получаем следующее уравнение (если не напутал):

$$\dot q=-\frac{r+R}{rR}\frac{q}{C}+\frac{U}{r}$$

С начальным условием $q(0)=0$. Его решение:

$$q=\frac{UCR}{(r+R)}\left(1-e^{-\frac{r+R}{rRC}t}\right)$$

Видно, что при $t\to\infty$ заряд на конденсаторе $q\to\frac{UCR}{(r+R)}\approx UC$, что ожидаемо.