2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение20.02.2012, 18:21 
PAV в сообщении #540785 писал(а):
Это примерно то же самое, что заменить буквы $x,y,z$ на $a,b,c$ и назвать это "эквивалентной формулировкой".

Привожу в качестве аргумента, оправдывающего рассмотрение эквивалентных уравнений, простой пример.
Начну с уравнения Пифагора и отыскания пифагоровых троек при помощи эквивалентного уравнения.
Запишем уравнение Пифагора:
$$x^2+y^2=z^2$$
И эквивалентное уравнение Пифагора:$$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$$
Если искать целочисленные решения, то записать условия целостности для эквивалентного уравнения гораздо проще, чем для исходного.
Так как слева стоит квадрат целого числа, то произведение сомножителей в правой части так же квадрат, причём чётного числа. Без проблем получаем три условия целостности:
$z-x=2p^2$
$z-y=q^2$
$x+y-z=2pq$
И находим в параметрическом виде решения уравнения Пифагора:
$z=2p^2+q^2+2pq$
$y=2p^2+2pq$
$x=q^2+2pq$
Где $p,q$ произвольные целые числа.
Это уже не "песочница в детском саду", а минимум "первый класс вторая четверть" 8-)

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение20.02.2012, 19:08 
ishhan в сообщении #540940 писал(а):
Если искать целочисленные решения, то записать условия целостности для эквивалентного уравнения гораздо проще, чем для исходного.
Ничуть не проще, разницу не ощутить. А вид решений у Вас получается более громоздкий. Сравните с классическими формулами: $x=m^2-n^2$, $y=2mn$, $z=m^2+n^2$.

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение20.02.2012, 19:36 
nnosipov в сообщении #540957 писал(а):
ishhan в сообщении #540940 писал(а):
Если искать целочисленные решения, то записать условия целостности для эквивалентного уравнения гораздо проще, чем для исходного.
Ничуть не проще, разницу не ощутить. А вид решений у Вас получается более громоздкий. Сравните с классическими формулами: $x=m^2-n^2$, $y=2mn$, $z=m^2+n^2$.


Есть одно "но".
Как выудить этот, с Вашей точки зрения, простейший вид классических решений из уравнения $x^2+y^2=z^2$
Только непосредственно подставив их в уравнение можно убедиться , что классические решения подходят.
Разница в том, что эквивалентное уравнение Пифагора $(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$ самодостаточно для записи решений, то есть всем своим алгебраическим видом показывает их.

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение20.02.2012, 19:53 
ishhan в сообщении #540969 писал(а):
Как выудить этот, с Вашей точки зрения, простейший вид классических решений из уравнения $x^2+y^2=z^2$
Книжки надо читать.

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение20.02.2012, 20:07 
nnosipov в сообщении #540986 писал(а):
ishhan в сообщении #540969 писал(а):
Как выудить этот, с Вашей точки зрения, простейший вид классических решений из уравнения $x^2+y^2=z^2$
Книжки надо читать.

С удовольствием прочту доказательство Ламе для $n=7$ пришлите пожалуйста ссылку, можно на английском или французском.

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение20.02.2012, 20:18 
ishhan в сообщении #540998 писал(а):
С удовольствием прочту доказательство Ламе для $n=7$ пришлите пожалуйста ссылку, можно на английском или французском.
А с доказательствами для $n=3$ (Эйлер) и $n=5$ (Дирихле) Вы уже разобрались? Уже это нелёгкое чтиво. Во всяком случае, это гораздо сложнее, чем случай $n=4$. Об этом можно прочесть в книге Эдвардса "Последняя теорема Ферма". Но чтобы понять, что там написано, потребуется терпение. (Ферматисты любят ссылаться на эту книгу, но они её почти всегда не читают --- математическая составляющая довольно нетривиальна.)

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение20.02.2012, 20:49 
Но меня интересует именно доказательство Ламе для$ n=7$ в котором он использует тождество:$$(x+y+z)^7-x^7-y^7-z^7=7(x+y)(z+x)(z+y)((x^2+y^2+z^2+xy+zx+zy)^2+xyz(x+y+z))$$
И эквивалентную запись уравнения Ферма относительно этого тождества:
$$(x+y+z)^7=7(x+y)(z+x)(z+y)((x^2+y^2+z^2+xy+zx+zy)^2+xyz(x+y+z))$$
которое выглядит довольно громоздко, но не это главное, а то что правая часть эквивалентного уравнения обладает свойством симметрической формы от четырёх переменных $x,y,z,s$, где $s=-x-y-z$.
Эдвардса и М.М. Постникова читал, причём мне больше понравилось изложение М.М.Постникова, которое основывается на книге Хинчина.

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение20.02.2012, 21:03 
Суть вопроса можно понять, читая Постникова или, что ещё лучше, "Теорию чисел" Боревича и Шафаревича (здесь, например, доказывается ВТФ при условии, что поле деления круга на $n$ частей одноклассно). Оригинальное доказательство самого Ламе найти непросто.

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение20.02.2012, 22:30 
nnosipov в сообщении #541052 писал(а):
Суть вопроса можно понять, читая Постникова или, что ещё лучше, "Теорию чисел" Боревича и Шафаревича (здесь, например, доказывается ВТФ при условии, что поле деления круга на $n$ частей одноклассно). Оригинальное доказательство самого Ламе найти непросто.

Честно скажу, что мне не уже не интересны поля деления круга и то, как они связаны с уравнением Ферма, которое принадлежит на самом то деле Пифагору, просто показатель степени другой.
Мне больше импонирует подход Галуа в котором он рассматривает связь уравнений с тем что называется симметрией, инвариантностью и др.
Не буду хвастаться, но при помощи эквивалентных уравнений я уже давно сам разобрался с тем, что называется 1 случай ВТФ для $n=3, 5, 7,11,13,17$
Если интересно, могу привести строчек на 40-50 доказательства любого на выбор, но на всякий случай скажу, что оно основано на том сколькими способами можно представить число $n$ в виде суммы трёх вычетов и вычислить пару для $n=7, 11$ тройку для $n=13,17 $ значений одной любопытной формы, которую некоторые называют делителем нуля.

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение21.02.2012, 02:55 
ishhan в сообщении #541103 писал(а):
Не буду хвастаться, но при помощи эквивалентных уравнений я уже давно сам разобрался с тем, что называется 1 случай ВТФ для $n=3, 5, 7,11,13,17$
А со 2 случаем разобрались хотя бы при $n=3$?

Полезно также заглянуть в книгу Рибенбойма "Последняя теорема Ферма для любителей" и выяснить, нет ли там чего-нибудь похожего.

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение21.02.2012, 10:41 
Цитата:
И находим в параметрическом виде решения уравнения Пифагора:
$z=2p^2+q^2+2pq$
$y=2p^2+2pq$
$x=q^2+2pq$
Где $p,q$ произвольные целые числа.
Это и есть класические формулы, да только в виде:
$\\x=(p+q)^2-p^2\\
y=2p(p+q)\\
z=(p+q)^2+p^2$
Не знаю почему Вам показалось, что выразить решения через p и p+q лучше, чем через p и q.

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение21.02.2012, 17:34 
nnosipov в сообщении #541150 писал(а):
ishhan в сообщении #541103 писал(а):
Не буду хвастаться, но при помощи эквивалентных уравнений я уже давно сам разобрался с тем, что называется 1 случай ВТФ для $n=3, 5, 7,11,13,17$
А со 2 случаем разобрались хотя бы при $n=3$?

Полезно также заглянуть в книгу Рибенбойма "Последняя теорема Ферма для любителей" и выяснить, нет ли там чего-нибудь похожего.
.
Обязательно загляну к Рибенбойму, а по поводу случая 2 особенно для показателя 3, могу только сказать: легко доказывается, если одно из переменных $x,y,z$ делиться на 3, то оно же должно делиться и на 9, но это "квазивторой" случай.
К сожалению из предположения, что одно из переменных делится на 9, уже не получается найти противоречие , суть которого следствие:
в том случае, если одно из переменных делится на 9, то оно должно делиться и на 27.
Не придаю этому факту вообще ни какого значения так как знаю, что оно ведёт в лабиринты ВТФ...
Для тройки я пользуюсь тождеством с геометрическим смыслом,(только не смейтесь :D ) который я постиг во время вырезания из детского пластмассового кубика, допустим с ребром $z$, и из симметричных относительно главной диагонали вершин, два кубика со сторонами $x,y$ такими, что $x+y-z>0$ поэтому внутри кубика была "дырка" в очертаниях которой угадывался куб со стороной $x+y-z$.
Этот тождество представляет собой запись объёма$V$ в аддитивном и мультипликативном виде той фигуры , которая останется после вырезания из кубика двух других:$$V=(x+y-z)^3-x^3-y^3+z^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$$.
Поскольку степень равна $3$, то не остаётся места для симметрической формы степени $n-3$, которая появляется уже при $n=5$:$$(x+y-z)^5-x^5-y^5+z^5=5(x+y)(z-x)(z-y)(x^2+y^2+z^2-xz-yz+xy)$$

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение21.02.2012, 21:14 
Изображение
Такой будет картинка или рисунок фигуры имеющей объём $V=3(z-x)(z-y)(x+y) $ или тот же объём при любых $x,y,z$ можно выразить как алгебраическую сумму $V=(x+y-z)^3-x^3-y^3+z^3$
В этом, возможно, скрыт геометрический смысл того, что называют ВТФ для $n=3$
P.S. В прошлом посте допустил ляп по поводу того как вырезаются кубики. Теперь надеюсь ясно.
И ещё, для $n=2$ такой геометрический подход приводит к тождеству:
(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2(z-x)(z-y)
и плоской картинке, которую не буду приводить 8-) .

-- Вт фев 21, 2012 21:33:31 --

Shadow в сообщении #541206 писал(а):
Цитата:
И находим в параметрическом виде решения уравнения Пифагора:
$z=2p^2+q^2+2pq$
$y=2p^2+2pq$
$x=q^2+2pq$
Где $p,q$ произвольные целые числа.
Это и есть класические формулы, да только в виде:
$\\x=(p+q)^2-p^2\\
y=2p(p+q)\\
z=(p+q)^2+p^2$
Не знаю почему Вам показалось, что выразить решения через p и p+q лучше, чем через p и q.

Это не лучше и не хуже.
Это то же самое.
А вид пифагоровых троек продиктован условиями целостности, которые естественным образом следуют из эквивалентного уравнения Пифагора: $$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$$

 
 
 
 Re: ВТФ с точки зрения симметрических функций.
Сообщение23.02.2012, 23:32 
Изображение
Так выглядит плоский случай, который всё же приведу, так как люблю геометрию и в частности планиметрию.
$$(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2(z-x)(z-y)$$
Мне нравится.
А Вам?

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group