Интеграл от интересной функции

[Ktina]

a) Найти хотя бы одну функцию, такую что $\int\limits_x^{2x}{f(t)dt}=1$ для всех $x\ge 1$

б) Конечно или бесконечно множество всех таких функций?

[nnosipov]

Логарифм как площадь под гиперболой. Вы об этом?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #540959 писал(а):

Логарифм как площадь под гиперболой. Вы об этом?

Не совсем.

[arseniiv]

Простое уравнение: $f(x) = (x \ln2)^{-1}$.

[Ktina]

arseniiv в сообщении #540970 писал(а):

Простое уравнение: $f(x) = (x \ln2)^{-1}$.

У меня был немножко иной пример:
$f(t)=\frac{1}{2^{\lfloor log_2 t\rfloor}}$

[nnosipov]

Ktina в сообщении #540973 писал(а):

У меня был немножко иной пример:
$f(t)=\frac{1}{2^{\lfloor log_2 t\rfloor}}$

Это что там? Небезызвестная "половая" функция? Как-то не верится, что это правильный пример.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #540978 писал(а):

Ktina в сообщении #540973 писал(а):

У меня был немножко иной пример:
$f(t)=\frac{1}{2^{\lfloor log_2 t\rfloor}}$

Это что там? Небезызвестная "половая" функция? Как-то не верится, что это правильный пример.

Это почему же он неправильный?

[Padawan]

После дифференцирования получится $2f(2x)-f(x)=0$ в предположении непрерывности функции $f$ в точках $t=x$ и $t=2x$.

[nnosipov]

Может и правильный, но какой-то неочевидный.

[arseniiv]

Удовлетворяющих условию разрывных функций, наверно, много можно всяких придумать?

[Ktina]

arseniiv в сообщении #541001 писал(а):

Удовлетворяющих условию разрывных функций, наверно, много можно всяких придумать?

Непрерывность функции в условии не оговорена.
Попытаюсь дать ссылку на условие. Когда (и если) откроется, нажмите "download original". (задача 11 для старших курсов)

[nnosipov]

Ktina в сообщении #541007 писал(а):

задача 11 для старших курсов

Странно. Неужели студент старших курсов может не знать, что такое логарифм?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #541013 писал(а):

Ktina в сообщении #541007 писал(а):

задача 11 для старших курсов

Странно. Неужели студент старших курсов может не знать, что такое логарифм?

Даже школьница не может не знать. Но ведь и пример не обязан быть единственным.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #541016 писал(а):

Но ведь и пример не обязан быть единственным.

Это да. Просто в задаче даже задуматься негде, т.е. человек совершенно за бесплатно решает одну из задач олимпиады (другие-то задачи поинтересней). Проверка корректности Вашего примера гораздо сложнее.

А, понял, как усложнить эту задачу: нужно попросить придумать пример разрывной функции, удовлетворяющей этому свойству.

[Padawan]

Пусть функция $\psi (t)>0$ задана на $[0,1)$, имеет на нем конечное число точек разрыва и удовлетворяет условию $\int_1^2 \psi (\log_2 x) dx=1$. Продолжим $\psi$ на всю прямую с периодом $1$. Тогда функция

$$f(x)=\frac{\psi(\log_2 x)}{2^{\lfloor\log_2 x\rfloor}}$$

будет удовлетворять условию задачи. Причем, в равенстве $\int_x^{2x} f(x)dx=1$ можно брать любые $x>0$.