Отношение натурального числа к сумме его десятичных цифр

[Ktina]

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, десятично записываемых одними восьмёрками:
8, 88, 888, ...
Покрасим те и только те элементы этой последовательности, которые могут выражать отношение некоторого натурального числа к сумме его десятичных цифр.

Сколько элементов останутся непокрашенными?

[hippie]

Ответ: Ни одного.

Сумма цифр числа $8n\cdot 10^n-8n$ равна $9n.$
А $\frac {8n\cdot 10^n-8n}{9n} = 8\frac{10^n-1}9$ — число, записываемое $n$ восьмёрками.

Ещё раз Спасибо за Очень Интересную Задачу!!!

[Ktina]

hippie в сообщении #540446 писал(а):

Ответ: Ни одного.

Сумма цифр числа $8n\cdot 10^n-8n$ равна $9n.$
А $\frac {8n\cdot 10^n-8n}{9n} = 8\frac{10^n-1}9$ — число, записываемое $n$ восьмёрками.

Ещё раз Спасибо за Интересную Задачу!!!

(Оффтоп)

На сей раз спасибо не мне, а Григорию Александровичу Гальперину (только я девятки на восьмёрки заменила, а то было бы совсем уж легко).

[hippie]

Интересно, а существуют ли вообще натуральные числа, не представимые в виде отношения некоторого натурального числа к сумме его цифр? И если существуют, то какое наименьшее?

Сразу не вижу, с какой стороны подходить к этой задаче.
Возможно, Вы что-нибудь об этом знаете?

————————————————————————————————————————————————————————

Добавлено позже.

Вопрос снимается. Компьютер нашёл 6 таких чисел уже в первой сотне: 62, 63, 65, 75, 84, 95.

[Ktina]

hippie в сообщении #540463 писал(а):

Добавлено позже.

Вопрос снимается. Компьютер нашёл 6 таких чисел уже в первой сотне: 62, 63, 65, 75, 84, 95.

Чёрт, снова опередили.
https://oeis.org/A003635