Задача на матрицы.

[3.14]

Здравствуйте, все участники форума! Недавно попалась одна задача. Мне сказали, что данная проблема очень сложная и, вроде, пока нет результатов. Может эта задача давно решена или есть какие-нибудь работы по этой теме. Предлагаю само условие :
Пусть $M_n$ - множество всех матриц размера $n\times n$. Пусть $A\in M_n$ и определим такое множество $S_A = \lbrace X\in M_n: AX = XA\rbrace$. Требуется найти размерность $S_A$.
Вот насчет условий я не совсем уверен. Может кто точно знает формулировку этой задачи или может подсказать с условиями, чтобы задача была корректной. Может здесь добавить условие невырожденности матрицы $A$?

[Legioner93]

В.В.Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры, с. 364, Следствие из теоремы 7.1.1.1

[3.14]

Legioner93, по ссылки я скачиваю учебник - Прасолов "Геометрия Лобачевского". Но за название спасибо. Задачник Прасолова я скачал с сети. Немного нужно разобраться..Позабылась линейная алгебра.

[alcoholist]

3.14 в сообщении #539950 писал(а):

определим такое множество

Все-таки это -- линейное подпространство в $M_n$.

Отображение $X\mapsto AX-XA$ линейно, надо найти размерность его ядра в терминах $A$

[s.n.s.]

Эта задача подробно разобрана в книге Гантмахера "Теория матриц", глава 8, параграф 2. Размерность подпространства $S_A$ дана в теореме 2. Она определяется структурой жордановой формы $A$.