Вопрос по квантовой механике

[Профессор Снэйп]

В рамках квантовой механики мы считаем, что физические объекты описываются функциями распределения вероятности и что результаты измерений (если они производятся с точностью до планковских величин) носят случайный характер и не могут быть предсказаны заранее, даже если мы знаем всё об исходном состоянии системы.

Однако невозможность давать предсказания на самом деле не равносильна недетерминированности. Я имею в виду вот что. Допустим, у нас есть узкая щель, за ней экран и мы запустили электрон в эту самую щель. Тогда электрон пройдёт сквозь щель и попадёт в экран, но в каком именно месте, заранее угадать невозможно. Если запускать много электронов, на экране будет наблюдаться такая типа волновая картина, как будто пучок электронов есть волна, при проходе которой через щель возникает дифракция.

Но у нас всё же не много электронов, а один. И мы можем говорить лишь о вероятностях его попадания в ту или иную точку экрана, даже если мы имеем полную информацию об устройстве, которое этот электрон запускает.

Однако давайте представим себе параллельную Вселенную, полностью идентичную нашей. Точнее, Вселенную, которая полностью идентична (изоморфна, если угодно) нашей Вселенной на момент, в который мы приступили к опыту с запусканием единичного электрона через щель. Обязаны ли электроны в обоих Вселенных попадать в одну и ту же точку экрана или не обязаны? Подчеркну: я не говорю о возможности предсказания точек, в которые попадут электроны, а говорю лишь об идентичности этих точек.

Что господа физики могут сказать в ответ на этот вопрос?

(Оффтоп)

Немного поясню, почему я этим интересуюсь.

Моя специальность - теория вычислимости. Там мы рассматриваем различные функции из $\mathbb{N}$ в $\mathbb{N}$. Большинство этих функций алгоритмически невычислимы. Но они могут быть вычислимы друг относительно друга в следующем смысле. Допустим, есть две невычислимые функции. Если к вычислительному устройству типа той же машины Тьюринга добавить непонятно как работающий чёрный ящик, который будет вычислять одну из функций (неизвестным нам образом), то с помощью этого сложного устройства (вычислительная машина с ящиком-оракулом) другую функцию тоже станет можно вычислять.

Математики признают, что ни одно идеальное вычислительное устройство (работающее детерминированным образом по конечной программе и имеющее потенциально бесконечную память) не может являться оракулом для невычислимой функции. В частности, ни один компьютер не может быть таким оракулом (в случае, если он работает абсолютно корректно и процессор все команды выполняет правильно, не допуская ошибок из-за перегревания или каких-либо других побочных эффектов, при передаче данных не происходит никаких искажений и т. п.). Однако я не вижу никаких причин, почему оракул для невычислимой функции не может существовать в природе!

Вот, допустим, алгоритмически неразрешимая проблема остановки. Ни один алгоритм, который может быть записан в виде компьютерной программы и работа которого может быть смоделирована человеком, имеющим при себе текст программы, бумагу и карандаши, не может по тексту произвольной программы за конечное время определить, остановится ли она когда-нибудь или зациклится и станет работать бесконечно. Однако почему невозможна, к примеру, какая-нибудь кристаллическая решётка, которую мы сначала бомбардируем в определённой последовательности какими-нибудь частицами, "сообщая" ей текст программы, а она после окончания "ввода данных" начинает излучать зелёный свет, если введённая в неё программа останавливается, и голубой, если остановки не происходит. Или не обязательно кристаллическая решётка, возможно что-нибудь другое, но то, что существует или может существовать в реальном мире. Короче, физическое устройство, в которое можно вводить тексты программ и которое будет решать проблему остановки?

Если посмотреть на всё это с точки зрения современной физики (не знаю, какой она будет завтра, и никто не знает), то подобное устройство возможно лишь при условии, что механизм его работы будет основан на квантовомеханических эффектах. Но при этом его работа обязана быть детерминирована и оно должно, если в него несколько раз вводить одни и те же данные, каждый раз давать один и тот же ответ. Непредсказуемый ответ, да. Но каждый раз один и тот же, это важно.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #537849 писал(а):

Обязаны ли электроны в обоих Вселенных попадать в одну и ту же точку экрана или не обязаны?

Не обязаны. Однако тут есть более ранняя проблема: нельзя представить себе две "полностью идентичных Вселенных".

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #537853 писал(а):

Однако тут есть более ранняя проблема: нельзя представить себе две "полностью идентичных Вселенных".

Почему нельзя? Поясните этот момент, пожалуйста.

[Утундрий]

Представить, положим, можно, только что это даст? Это все равно что спросить, будет ли точно таким же уже однажды произошедший когда-то процесс, если он, значится, тогда когда-то "еще раз" произойдет

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #537855 писал(а):

Почему нельзя?

Потому, что это понятие бессодержательно: у нас заведомо нет и не может быть в принципе полной информации об этих Вселенных и, следовательно, мы никак не можем проверить их идентичность.

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #537849 писал(а):

В рамках квантовой механики мы считаем, что физические объекты описываются функциями распределения вероятности

Нет. Физические объекты описываются волновыми функциями (в другой терминологии - векторами состояния). Функция распределения вероятности получается из волновой функции возведением в квадрат модуля, что, как легко заметить, не инъекция. Таким образом, волновая фукнкция - более содержательный объект, а функция распределения состояния - всего лишь одна из его "проекций" (причём известно, как получить другие, в том числе экспериментально измерить).

Профессор Снэйп в сообщении #537849 писал(а):

Что господа физики могут сказать в ответ на этот вопрос?

Что сами были бы не прочь этот ответ знать, но нам не доступно для экспериментов параллельной Вселенной :-)

-- 12.02.2012 21:38:14 --

P. S. Миф о том, что в квантовой механике основой описания является функция распределения вероятности, расхож среди людей, которым когда-то как-то читали квантовую механику, но с тех пор эти знания толком не задействовались.

-- 12.02.2012 22:00:33 --

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #537849 писал(а):

Если к вычислительному устройству типа той же машины Тьюринга добавить непонятно как работающий чёрный ящик, который будет вычислять одну из функций (неизвестным нам образом), то с помощью этого сложного устройства (вычислительная машина с ящиком-оракулом) другую функцию тоже станет можно вычислять.

Существует ли оракул для одной функции, который позволяет вычислять все невычислимые функции, или класс невычислимых функций в этом смысле "больше", и одним оракулом не обойтись?

Профессор Снэйп в сообщении #537849 писал(а):

Однако я не вижу никаких причин, почему оракул для невычислимой функции не может существовать в природе!

Например, сумма литературных текстов, написанных человечеством :-)

Профессор Снэйп в сообщении #537849 писал(а):

Однако почему невозможна, к примеру, какая-нибудь кристаллическая решётка, которую мы сначала бомбардируем в определённой последовательности какими-нибудь частицами, "сообщая" ей текст программы, а она после окончания "ввода данных" начинает излучать зелёный свет, если введённая в неё программа останавливается, и голубой, если остановки не происходит.

Мне ситуация видится так. Машина Тьюринга - очень покладистый объект, мы её можем заставить выдать ответ в виде "да" или "нет", и даже в этом случае она умудряется иногда уходить от ответа, не достигая остановки. А физические системы просто получают ещё больше разнообразных возможностей уйти от ответа. Например, излучить оба света одновременно, войти в периодические колебания, взорваться...

И наконец, даже если мы смастерим с помощью квантовой механики оракула, выдающего невычислимую функцию, откуда мы узнаем, какую именно он выдаёт функцию? :-) И как его заставить выдавать какую нужно. Тут проблема уже в психологии, мы сами можем уверенно сказать что-то только о вычислимых.

[ewert]

Munin в сообщении #537979 писал(а):

P. S. Миф о том, что в квантовой механике основой описания является функция распределения вероятности, расхож среди людей, которым когда-то как-то читали квантовую механику, но с тех пор эти знания толком не задействовались.

Ну не надо так-то уж экстремистски. Собственно ли вероятность, модуль ли вероятности, плотность ли вероятности... Всё это в первом приближении не так уж и принципиально.

[arseniiv]

Но волновая функция-то комплекснозначная, в отличие от вероятности!

[ewert]

Какая разница. Ну возьмём по модулю, или типа от квадрата. Суть-то дела от этого не меняется. Нехорошо вылавливать блох -- если, конечно, блохоискательство не является профессией.

[Munin]

ewert в сообщении #538001 писал(а):

Ну не надо так-то уж экстремистски. Собственно ли вероятность, модуль ли вероятности, плотность ли вероятности... Всё это в первом приближении не так уж и принципиально.

Вот как раз яркий пример того явления, о котором я говорил. Слова о неинъективности с этого джентльмена как с гуся вода.

ewert в сообщении #538021 писал(а):

Суть-то дела от этого не меняется. Нехорошо вылавливать блох

Меняется, и очень сильно. Это не блохи, это принципиальный момент.

И имейте в виду, спорить с вами я об этом здесь не намерен. С меня достаточно. Я всего лишь предупредил Профессора Снэйпа, который проявил всего лишь неосведомлённость, а не упёртость, как вы.

[Padawan]

Профессор Снэйп

Munin в сообщении #537979 писал(а):

И наконец, даже если мы смастерим с помощью квантовой механики оракула, выдающего невычислимую функцию, откуда мы узнаем, какую именно он выдаёт функцию? И как его заставить выдавать какую нужно. Тут проблема уже в психологии, мы сами можем уверенно сказать что-то только о вычислимых.

Существует ли такая невычислимая функция, которую мы вычислять не умеем, но правильность или неправильность предоставленного ответа проверить можем?
Видимо нет, а то так можно было бы последовательно проверять все натуральные числа, пока не доберемся до нужного, и функция окажется вычислимой. Так что замечание Munin-а совершенно справедливо. Откуда мы знаем, что там нам этот кристаллик навычисляет, может он все врет
Тогда можно поставить вопрос так. Можно ли построить физическое устройство, которое, будучи запущенным, выдает последовательность значений некоторой невычислимой функции? При этом два идентичных устройства должны выдавать идентичные последовательности, т.е. устройства детерминированы.

-- Пн фев 13, 2012 02:27:45 --

Точно также мы не сможем проверить, что выдаваемая функция действительно невычислима

[type2b]

Исходный вопрос, если я правильно его понял, эквивалентен вопросу о существовании скрытых переменных. Эта тема в науке много обсуждалась, погуглите.
На первый взгляд казалось бы, что на такой вопрос ответить нельзя, не предлагая конкретных моделей скрытых переменных, но оказывается, что кое-что можно сказать и в общем случае. Посмотрите например, что такое неравенства Белла.

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #537979 писал(а):

Существует ли оракул для одной функции, который позволяет вычислять все невычислимые функции, или класс невычислимых функций в этом смысле "больше", и одним оракулом не обойтись?

Второе. Из элементарных теоретико-мощностных соображений. Существует континуум различных функций из $\mathbb{N}$ в $\mathbb{N}$, а для каждолго фиксированного оракула множество функций, вычислимых с этим оракулом, счётно

Munin в сообщении #537979 писал(а):

Например, сумма литературных текстов, написанных человечеством

Она состоит из конечного числа букв. А оракул для невычислимой функции знает ответы о её значениях на бесконечном числе аргументов.

Хотя если принять за аксиому, что человечество будет существовать вечно и при этом постоянно порождать новые тексты, то... может быть. Если рассматривать все тексты, как уже написанные, так и те, что будут написаны потом. Не вижу аргументов ни за, ни против.

Munin в сообщении #537979 писал(а):

И наконец, даже если мы смастерим с помощью квантовой механики оракула, выдающего невычислимую функцию, откуда мы узнаем, какую именно он выдаёт функцию?

А вот это - самый важный и самый принципиальный вопрос.

Чисто гипотетически я представляю возможной ситуацию, когда в будущем появится физическая теория, описывающая поведение некоторых физических объектов на манер следующей фразы: Если элементарная частица сфинксон (пока что не открытая) сталкивается с электроном энергии $n$ эВ и при этом машина Тьюринга с номером $n$ останавливается через конечное время, начав работать с пустой лентой, то она распадается на два ответсона (ещё одна пока не открытая частица), в противном случае распада не происходит. В этом случае, варьируя энергию электрона и регистируя факт распада, мы будем иметь оракул для невычислимого множества - проблемы остановки.

Возникает вопрос: возможно ли, что законы физики вдруг примут такую странную форму. Не вижу причин, почему это невозможно, хотя опять же не уверен, что их реально нет. Что мы хотим от физического закона. Чтобы он формулировался на языке математики и допускал экспериментальную проверку (с гарантированной возможностью экспериментального опровержения в соответствии с принципом фальсификации). Первое условие выполнено, хотя и непривычным образом; мы привыкли записывать физические законы на языке непрерывной математики и дифференциальных уравнений, а тут закон записан на языке дискретной математики. Но всё же математики! Далее... Множество таких $n$, при которых происходит событие распада, перечислимо, но не вычислимо. То есть мы можем перечислять $n$, при которых должен происходить распад, проверять для этих $n$ наличие распада экспериментально и в этом пункте теория поддаётся многократному экспериментальному подтверждению, если она верна, и экспериментальному опровержению, если нет. Насчёт другого пункта сложнее. Множество значений $n$, при которых распада не будет, нельзя не то что вычислить, но даже перечислить. И тут получается, что если мы обнаружили отсутствие распада при некотором конкретном $n$, то мы не имеем возможности интерпретировать результат в рамках теории. Поскольку мы, имея конкретное $n$, которое ещё не перечислено в списке кодов останавливающихся программ, каждый раз стоим перед альтернативой: то ли уже остановить процесс перечисления и признать, что $n$ не перечислится никогда, то ли подождать ещё чуть-чуть и обнаружить, что $n$ всё же перечисляется, хотя и не сразу. Алгоритмического решения этой альтернативы нет. Если мы при каком-то $n$ фиксируем отсутствие распада, то мы должны запустить перечисление и ждать. Если $n$ когда-нибудь перечислится, этот факт опровергнет теорию, но если теория всё же верна, то её экспериментальное подстверждение для этого $n$ невозможно. То есть фальцифицируемость есть "по полной программе", а экспериментальное подтверждение возможно лишь когда теория предсказывает распад.

Но я считаю, что всё нормально и теория вполне может быть названа физической и научной. Ибо она поддаётся экспериментальному опровержению в случае своей несостоятельности. Просто она предсказывает поведение сфинксона таким законом, в котором фигурирует невычислимая функция, из-за чего мы, даже зная закон, всё же не всегда можем предсказать результаты эксперимента. Но ведь если такая теория появится, то не с бухты-барахты и не на пустом месте. Скорее всего, у нас будут какие-то причины считать её истинной. И мы вправе будем продолжать доверять теории до тех пор, пока она вдруг не окажется опровергнутой (если сие, конечно, произойдёт).

Наконец, тот факт, что внутри элементарной частицы современная физика прячет целый набор целочисленных параметров (заряд, спин и т. п.) давно уже никого не удивляет. Так что если когда-нибудь дотеоретизируемся до того, что спрячем внутрь частицы бесконечную ленту машины Тьюринга, разбитую на дискретные ячейки), то это станет дальнейшим продолжением имеющейся тенденции и не будет выглядеть столь уж неправдоподобно.

-- Пн фев 13, 2012 07:43:16 --

Зато если человечеству когда-нибудь удастся заполучить в руки физический прибор, вычисляющий проблему остановки, то это будет иметь много разных интересных последствий:

1) Кардинальное изменение облика всей математики, в том числе и смена методологии. Сегодня работа математика заключается в том, что он выдвигает утверждения-гипотезы и ищет их доказательства (а когда находит, начинает называть гипотезу теоремой). Если же у нас будет оракул, то думать и искать доказательства станет не нужным. Достаточно будет просто спросить у оракула, существует доказательство или нет :)

Впрочем, математика после такого форс-мажора не только не выродится, но станет лишь более содержательной. Однако совсем-совсем другой...

2) Если вдруг окажется, что оракул ещё и работает быстро, то большинство вычислений, для которых человечество ныне старается найти как можно более быстрые алгоритмы, станет просто не нужным. Проблема коммивояжера или другая NP-поная проблема, шашки, шахматы, взлом паролей полным перебором сколь угодно большого числа вариантов... Не надо ничего вычислять, просто спрашиваем у оракула и всё. Криптография, конечно, не исчезнет, но будет опять же другой: вместо игры на трудностях в подборе пароля криптосистемы сами станут использовать оракул.

3) Любую естественнонаучную теорию станет возможным мгновенно проверить на внутреннюю логическую непротиворечивость. Которая, хоть и не даст гарантии истинности, всё же сразу станет отбрасывать множество заведомо ненужного хлама.

Если подумать, то можно, наверное, ещё какие-то пункты записать. Представьте себе мир, в котором все компьютеры производят любые вычисления практически мгновенно. Не удивлюсь, если в конечном счёте появится возможность просчитывать турбулентность и точно предсказывать погоду. С учётом того, что вся логистика оптимальна. Во многом люди станут подобны Богам...

Кстати, давно уже мечтаю написать фантастический рассказ на эту тему...

-- Пн фев 13, 2012 07:48:00 --

Munin в сообщении #537979 писал(а):

Миф о том, что в квантовой механике основой описания является функция распределения вероятности, расхож среди людей, которым когда-то как-то читали квантовую механику, но с тех пор эти знания толком не задействовались.

Да ну знал я на самом деле, как правильно. Просто опять забыл!

Кстати, тут возникал вопрос о том, что такое идентичные Вселенные. Можно дать такое определение: эти Вселенные, рассматриваемые как квантовомеханические системы, имеют одинаковую функцию плотности вероятности.

-- Пн фев 13, 2012 07:50:22 --

type2b в сообщении #538107 писал(а):

Исходный вопрос, если я правильно его понял, эквивалентен вопросу о существовании скрытых переменных. Эта тема в науке много обсуждалась, погуглите.
На первый взгляд казалось бы, что на такой вопрос ответить нельзя, не предлагая конкретных моделей скрытых переменных, но оказывается, что кое-что можно сказать и в общем случае. Посмотрите например, что такое неравенства Белла.

Не из той оперы, совсем не из той!

[type2b]

почему не из той? если вы хотите определить класс эквивалентных вселенных в начальном состоянии и потребовать, чтобы в конечном состоянии результат опыта был одинаков, то это и есть самое общее определение скрытых переменных

[epros]

Профессор Снэйп в сообщении #537849 писал(а):

Однако давайте представим себе параллельную Вселенную, полностью идентичную нашей. Точнее, Вселенную, которая полностью идентична (изоморфна, если угодно) нашей Вселенной на момент, в который мы приступили к опыту с запусканием единичного электрона через щель. Обязаны ли электроны в обоих Вселенных попадать в одну и ту же точку экрана или не обязаны?

А я вот предложу более "гибкий" ответ, чем ewert: Это зависит от определения "идентичности". Очевидно, что возможны как минимум два определения "идентичности": одно будет подразумевать возможность разных результатов измерений, а другое - нет.

(Оффтоп)

ewert в сообщении #538021 писал(а):

Нехорошо вылавливать блох -- если, конечно, блохоискательство не является профессией.

Подозреваю, что это как раз тот случай.

Профессор Снэйп в сообщении #538112 писал(а):

Возникает вопрос: возможно ли, что законы физики вдруг примут такую странную форму.

Законы физики могут принять сколь угодно странную форму. Мало того, некое загадочное физическое устройство может в течение столетий успешно подтверждать на практике свою способность служить Оракулом, отвечающим на вопрос останова произвольной Машины Тьюринга. Но это не даёт никаких гарантий, что в следующее столетие этот Оракул вдруг не ошибётся.

А вообще, мне кажется, что квантовая механика - это не то место, где нужно искать Оракулы.