ТФКП: задача об аналитической и целой функции

[tavrik]

а) пусть $f(z)$ аналитична на всей плоскости C и существуют такие M>0; p>0 что для всех z:
$|f(z)|\leqslant{|M(1+|z|)^p$}
то $f(z)$ многочлен степени меньше или равной p

б) $f(z)$ целая функция
$|f(z)|\leqslant{\sqrt{|z|}}$
найдите $f(z)$

первый вопрос нужно начинать с нулей функции?
а почему она не может быть константной(раз p>0)?

а второй я так понимаю связан с первым. ведь целая она и есть аналитичн на всей плоскости.
но что означает найдите функцию, она что - единственная?

[bot]

tavrik в сообщении #536675 писал(а):

а почему она не может быть константной

А кто сказал, что не может? Константа не многочлен?

tavrik в сообщении #536675 писал(а):

она что - единственная

На олимпиадах в таком случае формулируют так: найдите все ...

[tavrik]

да, точно. я почему то >p подумал.

[Padawan]

a) Доказательство стандартное, использует неравенства Коши для коэффициентов аналитической функции.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #536765 писал(а):

a) Доказательство стандартное, использует неравенства Коши для коэффициентов

Только лучше не неравенства (цепочка длинновата получается), а тупо интегральные представления коэффициентов. Т.е. сами по себе неравенства тоже любопытны, сами по себе; но тянуть доказательство через них -- неуклюжевато выходит.

[sergei1961]

Утверждение: пусть $f(z),g(z)$-целые функции. Тогда из неравенства $|f(z)|\leq |g(z)|$ следует, что существует такая постоянная $A$, что $f(z)=Ag(z)$.

[DLL]

Если неравенство в б) возвести в квадрат, то из а) можно сделать определенное заключение про $f^2(z)$.

[nnosipov]

Какие целые функции имеют предел на бесконечности? Все знают, что это только многочлены. Опираясь на этот факт, можно доказать утверждение п. а), составляя функцию $g(z)=z^nf(1/z)$ с достаточно большим натуральным $n$.

[sergei1961]

б) $|f^2(z)|\le |z|$, и по утверждению выше $f^2(z)=Az$ , \Rightarrow f(z)=0$, так как она целая.
a) там же есть в учебниках какое-то следствие из теоремы Лиувилля: если функция растёт не быстрее некоторой степени, то это многочлен. Можно повторить доказательство для этого частного случая.

[bot]

(Оффтоп)

Ещё немного и ТС не дадут слова и по первой задаче.