Группы подстановок

[mnojestv0]

Задание: выписать все правые смежные классы $G$ по $H$. $G=\sum_3, H=<(12)>$, т.е. G-группа, элементы которой - множества всех биекций $\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}$, а H-подгруппа, порожденная циклом.

Сначала узнаем порядок подгруппы: $(12)(12)=e$, значит порядок подгруппы 2.
Далее, порядок группы это $3!=6$.
Значит, число смежных классов 3.

Смежные классы это множества вида $\{xh|h \in H\}$, а $x$ - представитель из $G$.

Значит, нужно брать какие-то элементы из группы и какие-то элементы из подгруппы. Как это делать, что вообще из себя представляют эти элементы?

[Sonic86]

стрелочка пишется \to, принадлежит пишется \in
Конечная группа разбивается на классы по подгруппе стандартно: выделяем саму подгруппу. Смотрим, осталось что-то или нет. Если осталось - берем какой-то элемент из оставшихся и умножаем его на подгруппу - получаем новый смежный класс. Снова вычитаем все классы из подгруппы. Снова смотрим - осталось что-то или нет. И т.п. до конца.

[mnojestv0]

Выделяем биекцию $\{1\to,2\to1,3\to3\}$ - это и есть сама подгруппа.
То есть, мы взяли тождественное преобразование из $G$ и умножили его на $(12)$. Получается, первый смежный класс - (12).
Осталось еще 5.(похоже, здесь я не прав. "Смотрим, осталось что-то или нет." - где смотрим?) Берем, например, биекцию $\{1\to2,2\to2,3\to1\}$,т.е. $(13)$. Умножаем $(13)(13)=e$ - новый смежный класс?

[Sonic86]

mnojestv0 в сообщении #533364 писал(а):

Выделяем биекцию $\{1\to,2\to1,3\to3\}$ - это и есть сама подгруппа.

Это не биекция, а если ее сделать биекцией - это будет лишь элемент группы.

mnojestv0 в сообщении #533364 писал(а):

Берем, например, биекцию $\{1\to2,2\to2,3\to1\}$

Тоже не так по аналогичной причине.

mnojestv0 в сообщении #533364 писал(а):

"Смотрим, осталось что-то или нет." - где смотрим?

Смотрим в группе, из которой уже убрали элементы найденных классов.

Возьмите Куроша Теорию групп. Почитайте - все очень просто: группа разбивается на классы (классы составляют ее целиком и не пересекаются).

[mnojestv0]

Спасибо, Вы мне очень помогли. Теперь я понял, что надо регистрироваться под женским ником.

[Sonic86]

mnojestv0 в сообщении #533447 писал(а):

Спасибо, Вы мне очень помогли. Теперь я понял, что надо регистрироваться под женским ником.

Нет, правда: в $\mathbb{S}_3$ всего 6 элементов, а в классе - всего 2 и всего 3 класса. Методом пристального взгляда можно увидеть все классы - все элементы умещаются в памяти.
Вам достаточно почитать самые азы:
1. Отношение эквивалентности.
2. Симметрические группы.
И то - 2 можно даже не читать.