Доказать неравенства

[myra_panama]

integral2009 в сообщении #531916 писал(а):

Доказать неравенства

1) $a^4+b^4\geqslant a^3b+b^3a$

$(a^2+b^2)^2-2a^2 b^2\ge a b (a^2+b^2)$

делим на $a b (a^2+b^2)$:

$\frac{a^2+b^2}{ab}-\frac{2ab}{a^2+b^2}\ge1$

используя теорему о среднем, получим:

$\frac{a^2+b^2}{ab}-\frac{2ab}{a^2+b^2}\ge 2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}\cdot \frac{2ab}{a^2+b^2}}=2\sqrt2>1$

[MrDindows]

integral2009 в сообщении #531916 писал(а):

Доказать неравенства

1) $a^4+b^4\geqslant a^3b+b^3a$

$4a^4+4b^4\geqslant 4a^3b+4b^3a$
$(a^4+a^4+a^4+b^4)+(b^4+b^4+b^4+a^4) \geqslant 4a^3b+4b^3a$
А это сума двух неравенств между СА и СГ.

-- Пт янв 27, 2012 19:01:38 --

myra_panama в сообщении #532010 писал(а):

используя теорему о среднем, получим:

$\frac{a^2+b^2}{ab}-\frac{2ab}{a^2+b^2}\ge 2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}\cdot \frac{2ab}{a^2+b^2}}=2\sqrt2>1$

ЭЭЭЭ! У вас же знак минус!) Какая теорема о среднем?)

[myra_panama]

MrDindows в сообщении #532024 писал(а):

ЭЭЭЭ! У вас же знак минус!) Какая теорема о среднем?)

ДА...!!!!

$\frac{a^2+b^2}{ab}-\frac{2ab}{a^2+b^2}\ge1$

$(\frac{a^2+b^2}{ab})^2-\frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2$

$(\frac{a}b+\frac{b}a)^2-(\frac{a}b+\frac{b}a)\ge2$
Ну и отсюда из СА и СГ:
$\frac{a}b+\frac{b}a\ge 2$

$(\frac{a}b+\frac{b}a)^2-(\frac{a}b+\frac{b}a)\ge 4-2=2$

[MrDindows]

myra_panama в сообщении #532038 писал(а):

MrDindows в сообщении #532024 писал(а):

ЭЭЭЭ! У вас же знак минус!) Какая теорема о среднем?)

ДА...!!!!

$\frac{a^2+b^2}{ab}-\frac{2ab}{a^2+b^2}\ge1$

$(\frac{a^2+b^2}{ab})^2-\frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2$

$(\frac{a}b+\frac{b}a)^2-(\frac{a}b+\frac{b}a)\ge2$
Ну и отсюда из СА и СГ:
$\frac{a}b+\frac{b}a\ge 2$

$(\frac{a}b+\frac{b}a)^2-(\frac{a}b+\frac{b}a)\ge 4-2=2$

Опять ошибочка=)
У вас стоит знак минус перед второй скобкой) К ней нельзя применить СА и СГ напрямую=)

К тому же вообще не понятно, откуда вы взяли второе неравенство)

[myra_panama]

MrDindows в сообщении #532041 писал(а):

Опять ошибочка=)

Ну точно где, где !!!!!!

MrDindows в сообщении #532041 писал(а):

К тому же вообще не понятно, откуда вы взяли второе неравенство)

Из неравенства $\frac{a^2+b^2}{ab}-\frac{2ab}{a^2+b^2}\ge1$

Получаем:

$\frac{a^2+b^2}{ab}-\frac2{\frac{a^2+b^2}{ab}}\ge1$

Отсюда и получим : $(\frac{a^2+b^2}{ab})^2-\frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2$

MrDindows в сообщении #532041 писал(а):

У вас стоит знак минус перед второй скобкой) К ней нельзя применить СА и СГ напрямую=)

ТОчно, вы хорошо проверяли.....!!!!!!!

Я только применил СА и СГ только для

$$\frac{a}b+\frac{b}a\ge 2$$

[Null]

Вообще стандартно это доказывается так(это частный случай неравенства Мюрхеда):
$x^4+y^4-x^3y-y^3 x=(x-y)(x^3-y^3)\ge 0$

[walter]

1)
$a^4+b^4\geqslant 2a^2b^2$
$2(a^4+b^4)\geqslant a^4+2a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2$
$a^4+b^4\geqslant\frac{a^2+b^2}{2}(a^2+b^2)\geqslant\sqrt{a^2b^2}(a^2+b^2)=ab(a^2+b^2)$

[integral2009]

walter в сообщении #532468 писал(а):

1)
$a^4+b^4\geqslant 2a^2b^2$
$2(a^4+b^4)\geqslant a^4+2a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2$
$a^4+b^4\geqslant\frac{a^2+b^2}{2}(a^2+b^2)\geqslant\sqrt{a^2b^2}(a^2+b^2)=ab(a^2+b^2)$

Красиво) Спасибо!