|sin x|<|x|

[integral2009]

Как доказать, что $|\sin x|<|x|$ (доказательство $\sin x<x$ понятно) ?

Для любой ли $f(x)$ и $g(x)$ из неравенства $f(x)<g(x)$ для $\forall x$ следует $|f(x)|<|g(x)|$?

[svv]

Строго говоря, строгое неравенство неверно. Оно нарушается при $x=0$.

Integral2009 писал(а):

$\sin x<x$

Надо оговаривать, для каких $x$ это верно.

[Nimza]

Посмотрите случай $g(x) < 0$ $\forall x$.

[integral2009]

Да, перепутал, нестрогое неравенство=) $\leqslant$

Как доказать, что $|\sin x|\leqslant|x|$ (доказательство $\sin x \leqslant x$ понятно) ?

Для любой ли $f(x)$ и $g(x)$ из неравенства $f(x)\leqslant g(x)$ для $\forall x$ следует $|f(x)|\leqslant |g(x)|$?

-- Чт янв 26, 2012 01:25:04 --

Nimza в сообщении #531366 писал(а):

Посмотрите случай $g(x) < 0$ $\forall x$.

Как рассмотреть?

$|g(x)|=-g(x)$ для $g(x)\leqslant 0$

[Nimza]

integral2009 в сообщении #531368 писал(а):

Как рассмотреть?

Да, так. С $f(x)$ аналогично. Будет ли верно Ваше утверждение в этом случае?

[integral2009]

1) Случай
$g(x)>0$

$f(x)>0$

$f(x)<g(x)$ =>

$|f(x)|<|g(x)|$

Этот случай понятен

2) Случай
$g(x)<0$

$f(x)<0$

$f(x)<g(x)$ =>

$-f(x)>-g(x)$ =>

$|f(x)|>|g(x)|$

Противоречие

3) Случай
$g(x)>0$

$f(x)<0$

$f(x)<g(x)$ =>

$-f(x)>-g(x)$ =>

$|f(x)|>|g(x)|$

4)Случай

$g(x)<0$

$f(x)>0$

$|f(x)|<|g(x)|$=>

$f(x)<-g(x)$

=> $f(x)>g(x)$

5) Случай, когда какая-то из функций равна нулю -- не интересен

[Nimza]

Что, в итоге, верно или нет Ваше утверждение про $f(x)$ и $g(x)$?

[integral2009]

Nimza в сообщении #531373 писал(а):

Что, в итоге, верно или нет Ваше утверждение про $f(x)$ и $g(x)$?

Получилось, что нет, но я там криво все написал...

А почем для синуса и икса выполняется?

[Nimza]

integral2009 в сообщении #531374 писал(а):

А почем для синуса и икса выполняется?

Вам svv ответил уже, надо оговаривать, при каких $x$ выполняется $\sin{x} \leqslant x$. Возьмите $x=-260112251$.

[integral2009]

Цитата:

Вам svv ответил уже, надо оговаривать, при каких $x$ выполняется $\sin{x} \leqslant x$. Возьмите $x=-260112251$.

Да, точно, при $x\geqslant 0$. СпасибО! Но пока что не понятно про $f(x)$ и $g(x)$

[Nimza]

Вы же уже обнаружили случаи, когда Ваше утверждение ошибочно. Чего ещё пожелать?