парадокс

[aVague]

Я приведу пример,когда при одинаковой плотности , меньшая масса движется медленне большей
вот он
есть ось на оси закреплены перпендикулярно оси бесконечное количество отрезков

первая система отрезков:

масса всех отрезков образует последовательность $ m_i=i$
длина тоже $l_i =\frac{1}{i^3}$
плотность равна $\frac {m_i} {l_i} =i^4$
прилагаем некое усилие ,и получаем кинетическую энергию из формулы T=$\sum^{ \infty }_{i=n} {( \frac {m_i \cdot (v_{ci})^2}{2}+\frac {w^2 \cdot J_i)}{2},J_i}$-момент инерции,$v_{ci}$-скорость центра масс i-того стержня(=0)
находим угловую скорость w
и суммарная скорость всех точек всех отрезков - $\sum^{ \infty }_{n} {$$\int_{0}^{\frac {1}{i^3} }x dx$$ \cdot \operatorname{const1}$} (<бесконечности))
вторая система
масса =$i^{\frac{3}{2}}$
длина =$\frac{1}{i^{\frac{5}{2}}}
плотность та же ($i^4$)скорость - $\sum^{ \infty }_{n} {$$\int_{0}^{\frac {1}{i^{\frac {5}{2}}}} x dx$$ \cdot \operatorname{const2}}$(<бесконечности)
n выбираем так,чтобы суммарная скорость первой системы была меньше второй
усили одинаковое , так что... и как такое объяснить?

[photon]

приведите формулы в порядок, и, может, нарисуете какую-то иллюстрацию, а то понять сложно, о чем Вы говорите? А пока поехали в Карантин

[photon]

Не очень мне нравится оформление, но на первый раз перенесу обратно

[Taus]

Куда усилие прилагаем, объясните подробнее... и оформите нормально. А то даже не разобраться.

[aVague]

ну ясное дела усилие , вращающее ось

[kw_artem]

aVague в сообщении #528909 писал(а):

ну ясное дела усилие , вращающее ось

так мы ось вращаем или отрезки

[aVague]

aVague в сообщении #528424 писал(а):

T=$\sum^{ \infty }_{i=n} {( \frac {m_i \cdot (v_{ci})^2}{2}+\frac {w^2 \cdot J_i)}{2},J_i}$-момент инерции,$v_{ci}$-скорость центра масс i-того стержня(=0)

по этой формуле для каждой системы(первой и второй ) получаем что она может двигаться конечным усилием ( подставьте и просуммируйте,получите сходящиеся ряды)

-- Чт янв 19, 2012 18:08:18 --

kw_artem в сообщении #528913 писал(а):

aVague в сообщении #528909 писал(а):

ну ясное дела усилие , вращающее ось

так мы ось вращаем или отрезки

ось, а она вращает отрезки, т.к. они закеплены на оси

[Taus]

Если сложить массы отрезков в обоих случаях, получится, что масса систем бесконечна.

[aVague]

Taus в сообщении #528921 писал(а):

Если сложить массы отрезков в обоих случаях, получится, что масса систем бесконечна.

ну да, а что? они все равно могут вращаться)

[Taus]

Хорошо. Парадокса-то и нету всё равно. Не учитывая толщину отрезков, считаем, что момент инерции каждого отрезка равен $J_i = 1/12 m_i l_i^2$. Тогда получаем, что для второй системы момент инерции больше, чем у первой, при этом (да простят меня математики ) вторая система весит больше. Для первой системы: $\omega_1^2 C = \sum\limits_{i=n}^\infty i^{-5}$, для второй: $\omega_2^2 C = \sum\limits_{i=n}^\infty i^{-3.5}$. Понятно, что ряд сходится $\forall n > 1\;\sum\limits_{i=n}^\infty i^{-3.5} - i^{5} = \sum\limits_{i=n}^\infty i^{-3.5}(1-i^{-1.5}) > 0$. Отсюда получаем, что первой системы меньше, чем частота вращения второй системы.

[aVague]

ну так , второя система и весит больше, и момент инерции больше, а движется быстрее

-- Чт янв 19, 2012 19:03:20 --

кстати можно и для конечных масс вроде сделать....

[Taus]

Частота вращения не от массы зависит, а от момента инерции.

[aVague]

ну так он тоже больше, да и там не только частота , там суммарная скорость всех точек всех отрезков больше

[Taus]

aVague, подумайте. Я в своих рассуждениях допустил большую ошибку, а вы её не заметили. Частоты должны быть в $-2$ степенях, из чего следует, что $\omega_2<\omega_1$.

[aVague]

что следует?

-- Чт янв 19, 2012 19:53:47 --

а ну да ) как там связаны угловая скорость и частота или что вы имеете в виду?

-- Чт янв 19, 2012 20:06:39 --

не, я не спорю,что угловая скорость первой системы больше, но суммарная-то скорость всех точек всех отрезков у первой системы меньше.
угловая скорось еще не показатель быстроты