Найти норму

[MaximVD]

MASHA67
У меня такое подозрения, что вы не совсем правильно понимаете в какое пространство и как действует оператор в вашем примере. Он сопоставляет каждой функции $x \in C[0,1]$ не отдельное $y_n$, а целую последовательность $Ax = (\int_0^1 x(t) t\,dt, \int_0^1 x(t) t^2dt, \ldots, \int_0^1 x(t) t^n dt, \ldots) \in l^{\infty}$. И норма $\| A x \| = \sup_{n \in \mathbb{N}}\big| \int_0^1 x(t) t^n dt \big|$. Поэтому, чтобы оценить $\| A \|$ вы должны оценить $|y_n|$ для произвольного $n$, и потом взять наибольшую из полученных оценок.

[MASHA67]

Большое спасибо за объяснение! А как правильно сделать оценку для $|y_n|$ , именно для произвольного n? Наибольшая из оценок получается $||A||=\frac{1}{2}$.

[MaximVD]

MASHA67 в сообщении #527292 писал(а):

А как правильно сделать оценку для $|y_n|$

Как вы делали оценку $|y_n|$ для $n=1$ и $n=2$? Т.е. как вы получили, что $|y_1| \le \frac 1 2$, а $|y_2| \le \frac 1 3$? Теперь сделайте точно также, но для произвольного $n$. В итоге получите, что $|y_n| \le \text{что-то зависящее от }n = C_n$. Останется только выбрать наибольшее из $C_n$.

MASHA67 в сообщении #527292 писал(а):

Наибольшая из оценок получается $|| A || = \frac{1}{2}.$

Правильно, но только не $\| A \| = \frac 1 2$, а $\| A \| \le \frac{1}{2}$. Т.е. мы пока знаем только, что $\| A \| = \sup\limits_{ \{ x \mid \| x \| \le 1 \} } \| A x \| \le \frac{1}{2}$. Чтобы показать, что $\| A \|$ в точности равна $\frac 1 2$, нужно, например, придумать такое $x$, что $\| x \|\le 1$, а $\| A x\| = \frac 1 2$. (Такое $x$ вам уже подсказал Dan B-Yallay во втором сообщении.)

[MASHA67]

Не пойму никак , $|y_n|=\int_{0}^{1}t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1} |_{0}^{1}+C$ , откуда следует , что $x(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ ?