Согласование вывода уравнения Мещерского с уравнением движен

[kefi]

Согласование вывода уравнения Мещерского с уравнением движения системы тел.

Кто-ни дайте наводку. В чем тут дело ?
Общеизвестен вывод общеизвестного уравнения Мещерского для движения мат точки с переменной массой, НО!
Но, если рассматривать движение системы , состоящей из двух материальных точек с переменной массой(одна отдает вещество, другая получает), как сумму движений каждой, то уравнение Мещерского не выводится.

Уравнение Мещерского для т1 из системы точек т1 и т2, на которую действую внешние силы F :
$m_1v_1 + $\Delta$m_2v_2 $ ' кол-во движения системы в момент t
$(m_1+$\Delta$m_1)(v_1 + $\Delta$v_1) $ ' кол-во движения системы в момент $t + $\Delta$t $($\Delta$t - любое приращение)
----------------------------- ' вычитаем , делим на $\Delta$t, переходим к пределам по $\Delta$t, получаем ( с учетом $\Delta$m_1+$\Delta$m_2=0$ (ввиду $m_1+m_2=Const$) ):
$m_1 d(v_1)/dt = F+(v_2-v_1) d(m_1)/dt$ ' где F - гл вектор внешних сил, действующих на систему точек т1 и т2


Пытаемся получить тоже самое, дифференциированием системы :
Для двух материальных точек, обменивающихся массой dm :
$d(m_1)+d(m_2)=0 $(ввиду $m_1+m_2=Const$)
$d(m_1v_1)/dt=F_2_1+F_1$ ' внутренние силы действующие со стороны т2 на т1 и внешние, действующие на т1
$d(m_2v_1)/dt=F_1_2+F_2 $ ' внутренние силы действующие со стороны т1 на т2 и внешние, действующие на т2
$F_2_1+F_1_2=0$ ' внутренние силы системы
$F_1+F_2=F $ ' гл вектор внешних сил, действующих на систему точек т1 и т2
-------------------- ' суммируем :
$m_1 d(v_1)/dt + v_1 d(m_1)/dt + m_2 d(v_2)/dt + v_2 d(m_2)/dt =F_2_1+F_1_2 + F_1+F_2 $

Как видно - не получается Уравнение Мещерского для т1. А получается :
$m_1 d(v_1)/dt + m_2 d(v_2)/dt + (v_1-v_2) d(m_1)/dt =F $

т.е. разница c уравнением Мещерского в члене :
$ m_2 d(v_2)/dt $

Академики откликнитесь! Тут какие-то основы физики(механики) затронуты, а что именно - не могу учесть.

PS. Извините, за первый пост - не нашел , как продифференцировать формулами, может кто из модераторов первый раз исправит пост, а дальше я сам ;).

[kefi]

тут вывод Мещерского подробнее

Вообще в книжках пишут вот такую предпосылку, которую я никак не могу понять, как ее нужно увязать со 2-м з-ном Ньютона, т.е. отчего она так важна ? :

Цитата:

Движение такой точки переменной массы мы и рассмот-
рассмотрим, полагая, что масса М этой точки является непрерывной и диф-
дифференцируемой функцией времени M(t) и что взаимодействие с этой
точкой отделяющихся частиц после отделения мгновенно прекращается,
а присоединяющиеся частицы до момента присоединений с этой
точкой не взаимодействуют Для такой точки можно составить диф-
дифференциальные уравнения, описывающие ее движение в течение всего
времени изменения массы.

[Munin]

Сформулируйте внятно задачу. У вас есть две точки. Какие силы действуют между ними? Какие внешние силы на них действуют? Как связаны потоки вещества из этих точек между собой? А то пока мешанина.

[kefi]

Munin
Не понял, что Вы имели ввиду - может, Вы решили, что это задачка из решебника какого - нет. Тема эта академическая, и общеизвестная - без всяких подковык, об этом я и сказал в стартовом посте, кроме того, привел подробное ее описание во втором посте. Это первый вариант - Мещерского .

А в чем проблема - так в том, что я пытаюсь получить то же уравнение Мещерского вторым способом - на основании дифференцирования уравнения движения системы из двух материальных точек, обменивающихся массой . Это тоже известная тема - т.е. что такое механическая система мат. точек. Но не получается прийти к тому же результату, все же предельно ясно написано в первом посте и написано, как я делаю вывод и какой лишний член получается.
Возможно , я делаю какие-то неверные допущения относительно того, что вторым способом можно прийти к уравнению Мещерского, так я и хотел бы понять - какие ?

Ps. Какие силы действуют - описано в первом посте. Как связаны потоки вещества - тоже описано (dm1=-dm2).

[Munin]

kefi в сообщении #526271 писал(а):

Тема эта академическая, и общеизвестная - без всяких подковык, об этом я и сказал в стартовом посте, кроме того, привел подробное ее описание во втором посте.

Смотрел-смотрел - не увидел во втором посте подробного описания. И ссылок на академическую литературу не увидел.

kefi в сообщении #526271 писал(а):

Это тоже известная тема - т.е. что такое механическая система мат. точек.

Мне известно, что такое механическая система материальных точек. Ещё мне известно, что любая такая конкретная система должна быть описана. А у вас этого не видно.

kefi в сообщении #526271 писал(а):

все же предельно ясно написано в первом посте

Если вам кажется, что там всё "предельно ясно написано", то возьмите первую строчку этого "предельно ясного", и просто её объясните. Когда я скажу, что понял, займёмся второй строчкой...

kefi в сообщении #526271 писал(а):

Ps. Какие силы действуют - описано в первом посте. Как связаны потоки вещества - тоже описано (dm1=-dm2).

Уравнение Мещерского - это идеализация реактивного движения ракеты. Ракета выбрасывает из себя вещество не одной материальной точкой, а множеством точек (например, можно рассмотреть молекулы газа, или пули из пулемёта). У всех таких точек свои массы (иногда одинаковые), скорости и импульсы. Дальше они не летят как целое. Их настолько много, что множество отдельных выбрасываний условно заменяется непрерывным процессом, в котором одна материальная точка (изображающая ракету) непрерывно расстаётся со своей массой (которую дальше не рассматривают).

Если вы рассматриваете две материальные точки, одна из которых теряет массу, а другая её же накапливает, то получается, у вас кроме ракеты, должно быть ещё какое-то тело, которое ловит её реактивную струю (или служит мишенью для пуль). Это выход за рамки условий исходной задачи, другая физическая ситуация. Непонятно, что вы таким образом хотите вывести или доказать.

[kefi]

Munin

Цитата:

И ссылок на академическую литературу не увидел

Вы все еще не поняли? Странно. Хорошо, - кроме приведенной во втором посте ссылки любые возьмите - ЛЮБОЙ, желательно хороший, учебник по теор механике и посмотрите там вывод уравнения Мещерского ("Основной курс ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ЧАСТЬ ВТОРАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК.Бухгольц)
, после чего там же посмотрите описание и свойства механической системы. Все - я более не из чего другого и не исходил. И именно это и имел ввиду, что ж непонятного ? Или издеваетесь? Вы же все прекрасно поняли. А ну вот поправлюсь -Вы все читаете, что система "конкретная"? Нет же - речь о голой теории!!!

Вы дальше отреагировали по существу вопроса. Но я так понимаю , что хоть

Цитата:

множество отдельных выбрасываний условно заменяется непрерывным процессом, в котором одна материальная точка (изображающая ракету) непрерывно расстаётся со своей массой (которую дальше не рассматривают).

все-равно можно использовать и описание механической системы, в которой

Цитата:

две материальные точки, одна из которых теряет массу, а другая её же накапливает

А еще "каким-то телом", накапливающим массу и является сама реактивная струя. Если Вы о струе, но не забывайте, что движение тел с переменной массой - это ЛЮБЫЕ процессы массо-теплопереноса (таяние льдины,адсорбция etc).Конечно, здесь лучше всего говорить о самых примитивных примерах, т.к. и они оказываются сложны для мат.описания.
Т.е. еще раз (эх раз) - проблема составить корректное мат описание, используя уравнения мех системы.
Вот вопрос , который я не очень понимаю - вообще ур-е Мещерского получилось дифференциальное, но по-моему при выводе допускается , что скорость соединяющихся частиц может изменяться скачком, так вот я не понял - предполагается , что импульс является дифференцируемой функцией, а масса и скорость - нет(разрывы 1 рода, модель удара) ? Или как?

PS. Может, кто подскажет ссылки ,где в Inet можно найти консультации с сильными матфизами , чтобы по теории проконсультироваться?

[kefi]

Вот пример, когда второе мат. описание превращается в первое. Это когда $v_2=Const$.
Пример модели :
1т: Падающая Грязная(т.е. это смесь - не путать с Чистой!) Капля воды
2т: Пылевое облако, поглощаемое каплей и двигающееся с постоянной скоростью (или стоячее $v_2=0$)
Причем, здесь даже можно эти два тела рассматривать как материальные точки.Т.е. не будем рассматривать пространство скоростей двух движущихся в пространстве объемных субстанций.

Ну вот.
А я хочу математически корректно описать вторым способом ЛЮБЫЕ процессы массопереноса, и чтобы они в частном случае Мещерского корректно согласовывались с уравнением Мещерского.

[kefi]

Вот второй пример, усложняющий первый тем , что скорость $v_2$ не постоянная.
Пусть имеем контейнер (весом его стенок пренебрегаем) в котором находится та же пыль, падающий под действием силы тяжести, но не свободно, а притормаживаемый какой-ни внешней силой, в контейнере с потолка падает та же капля. Т.е. имеем :
1т: Падающая Грязная(т.е. это смесь - не путать с Чистой!) Капля воды
2т: Пылевое облако в контейнере , поглощаемое каплей и двигающееся с переменной скоростью
Систему координат считаем привязанной к Земле и инерциальной.

В этом случае второе математическое описание , не согласуется с первым !
Но , замечу, что к каждому из этих двух примеров можно применить как первое(ур Мещерского), так и второе (ур-е полученное из системы ур-ний мех системы ) математическое описание и получить таким образом противоречие.

[Circiter]

2kefi

Цитата:

$d(m_1v_1)/dt=F_2_1+F_1$ ' внутренние силы действующие со стороны т2 на т1 и внешние, действующие на т1
$d(m_2v_1)/dt=F_1_2+F_2 $ ' внутренние силы действующие со стороны т1 на т2 и внешние, действующие на т2

Честно говоря, абсолютно не разобрался в вашем стартовом сообщении, но конкретно вот эти формулки из цитаты показались какими-то несимметричными. Так и должно быть?

(Оффтоп)

Пожалуйста, набирайте формулы аккуратнее. Внутри не должно быть лишних долларов, нижних индексов может быть только одна штука (для записи нескольких индексов применяется группировка фигурными скобками) и т.д. Например, одна из формул в вашем первом сообщении вообще невидна (приходится смотреть текст всплывающей подсказки или исходник сообщения при цитировании), как же тут кто сможет вам помочь?

[kefi]

Circiter
Ну, разумеется, а что не так - симметрия абсолютная, во всяком случае школьникам поступившим на первый курс уже на 2,3-ей лекции по общей физике именно так и объясняют (кстати, тема именно уже должна быть понятна этому уровню студентов, но вот мне до сих пор не понятно). А может у меня глаз замылен, Вы скажите, что не так.

PS. Надеюсь, любителю конкретных задач Muninу после приведенных мной двух задач , все стало понятным.

PSPS. С математической разметкой маялся - не смог добиться корректного отображения - может кто из модераторов поправит стартовый пост. там в выводе Мещерского должно быть :
----------------------------- ' вычитаем , делим на дельтаt, переходим к пределам по дельтаt, получаем ( с учетом дельта m1+дельта m2=0 (ввиду m1+m2=Const) ):
У меня там после дельта почему-то m1 уехало куда-то на новую строку

[Circiter]

Мне просто показалось, что во второй из процитированных формул вместо $v_1$ должно быть $v_2$... Извините, если глупость сморозил.

[kefi]

Circiter
Ну, да, конечно, Вы правы. Закопипастился я. Может кто из модераторов исправит.
Но , это вещь - очевидная опечатка.

[Neloth]

Я тоже ничего не понял, и, видимо, иначе как серией глупых вопросов добиться полного описания системы не получится.

kefi в сообщении #526225 писал(а):

$m_1v_1 + \Delta m_2v_2 $ ' кол-во движения системы в момент t

что такое $\Delta m_2v_2$?

[Утундрий]

kefi
Простите, а какие у вас цели?
1. Решить "академическую" задачу.
2. Запутаться в словах и понятиях.
3. Совершить Великое Открытие прилагая минимум усилий.
Или что-то еще?

[kefi]

Neloth
На тех, кто не знаком с уравнением Мещерского, видимо, пост не рассчитан. Я уже сто раз повторил, что смотрите вывод ур.Мещерского в учебниках.
Утундрий
Ага, СОВЕРШИТЬ ГРАНДИОЗНОЕ ОТКРЫТИЕ путем вытягивания истины в последней инстанции с inet-форумов. Цель, видимо, настолько проста , что никогда не приходила Вам в голову - я хочу понять тему.
Но,... я прошу прощения за ответный стеб. Читайте по теме учебники по теор. механике.
Видно тему нужно в Дискуссионные темы (Ф) переносить.
Для тех, кто в курсе, а не в т. Продолжаю.

Наводящие вопросы, которые нужно решить :
В уравнении Мещерского есть внешняя сила F, действующая на что? Вот это я не мог толком понять -
то ли на $m_1$ вместе с dm(т.е. систему ДВУХ тел), то ли только на $m_1$. Это один вопрос касается вывода по Мещерскому.
И второй следующий:
Если ответ на первый вопрос такой - F в ур Мещерского(обозначим ее с индексом m $F_m$, чтобы далее не путаться ), это сила, действующая на $m_1$(а не на $m_1+$\Delta$m_1), со стороны остальных тел - в т.ч. и стороны тела $\Delta$m_1 , то тогда уравнение Мещерского будет согласоваться с системой уравнений механической системы при условии :
$F_m$=F_1+F_1_2-v_2dm/dt
Но как тогда это уравнение доказать ?
Т.е. верно ли , что внешняя сила в уравнении Мещерского складывается из составляющей $F_1$ ( составляющей Внешних сил F, действующих на систему тел $m_1 и m_2$, но только ее часть, действующая на $m_1$),
плюс силы взаимодействия между $m_1$ и $m_2 $ ( $F_1_2$ )
и минус $v_2dm/dt$
? Если ДА, то - как это доказать (именно участие этого члена $v_2dm/dt$) ?