Метрика ФЛРУ

[KVV]

Munin в сообщении #523313 писал(а):

Конкретно, как у вас метрика получается кривой

Рассматривая, метрику $ds^2=dt^2-a^2dx^2$ я неявно предполагал ее четырехмерный вариант $ds^2=dt^2-a(t)^2(dx^2+dy^2+dz^2)$, который при ненулевой плотности энергии имеет ненулевые компоненты тензора Римана, скаляр Кретчмана и т.д. Плоской эта четырехмерная метрика будет только в случае $a=const$ и $\varepsilon=0$, что эквивалентно метрике Минковского.

Двумерная же метрика $ds^2=dt^2-a^2dx^2$ будет плоской в случае линейной зависимости $a$ от $t$, например, $a=kt$.

Если сравнить с метрикой плоского листа бумаги в полярных координатах, получается: $dl^2=dr^2+a(r)^2d\varphi^2$, $a(r)=r$, $dl^2=dr^2+r^2d\varphi^2$.

[Munin]

Отлично, я как раз подразумевал и записал двумерную, не рассчитывая на способности моего оппонента, и не желая перегружать его работой. Да, разумеется, чётырёхмерный аналог чаще неплоский, чем двумерный.

Однако и чётырёхмерная метрика FLRW может быть плоской и приводиться к виду Минковского, при условии линейной зависимости $a=kt.$ Для этого надо только отказаться от её "пространственной плоскостности" в стандартных координатах FLRW: записать её не как $\ldots a(t)^2(dx^2+dy^2+dz^2),$ а как $\ldots a(t)^2[(1-\kappa r^2)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2)],$ или в любой другой системе координат, пригодной для пространств постоянной ненулевой кривизны - плоское пространство будет отвечать ненулевой $\kappa.$ Кстати, полезным и поучительным (хотя и простым) упражнением может быть найти, при какой $\rho$ такое возможно.

[KVV]

Munin в сообщении #523662 писал(а):

Однако и чётырёхмерная метрика FLRW может быть плоской и приводиться к виду Минковского, при условии линейной зависимости $a=kt$.

Да, только при ненулевой $\kappa$.

Munin в сообщении #523662 писал(а):

плоское пространство будет отвечать ненулевой $\kappa$.

Почему ненулевой? Нулевой.

Munin в сообщении #523662 писал(а):

Кстати, полезным и поучительным (хотя и простым) упражнением может быть найти, при какой $\rho$ такое возможно.

При нулевой. Если пространство-время плоское, то тензор энергии-импульса равен нулю. Так ведь?

[Munin]

KVV в сообщении #524293 писал(а):

Почему ненулевой? Нулевой.

Плоское пространство-время.

KVV в сообщении #524293 писал(а):

При нулевой. Если пространство-время плоское, то тензор энергии-импульса равен нулю. Так ведь?

Да, правильно.

Но вы само преобразование сделали?

[KVV]

Munin в сообщении #524304 писал(а):

Но вы само преобразование сделали?

Нет, не делал. Но, думаю, это несложно.

[Munin]

Можете не делать, если найдёте аналогию в евклидовом пространстве :-)

[KVV]

Munin в сообщении #524366 писал(а):

Можете не делать, если найдёте аналогию в евклидовом пространстве

Получил преобразования координат к метрике Минковского. Вы же это имели ввиду?
Но вот насчет аналогии... Это пока сложно для меня. : )

[Munin]

KVV в сообщении #524929 писал(а):

Получил преобразования координат к метрике Минковского. Вы же это имели ввиду?

Да.

KVV в сообщении #524929 писал(а):

Но вот насчет аналогии... Это пока сложно для меня. : )

Смотрите, для двумерной метрики аналогией была полярная система координат. Значит, для $n>2$-мерной метрики будет сферическая. Пространству постоянного собственного времени $t$ (координата FLRW) будет отвечать сфера постоянного радиуса $r.$ Теперь должно быть видно, что при плоском пространстве-времени отдельно взятое пространство должно быть неплоским, как сфера. При этом в евклидовом случае получается сфера с положительной кривизной, а в псвдоевклидовом - псевдосфера с отрицательной кривизной. Перейдя к координатам Минковского, мы увидим, что эта псевдосфера вкладывается в световой конус будущего. Всё же просто :-)

Если мы хотим рассматривать FLRW с ненулевой кривизной пространства-времени, мы берём всё то же самое, только "нарисованное" не на плоском (2, 3, 4-мерном) листе бумаги, а на искривлённом, выпуклом, наподобие сферической шапочки, или седловидном. Только на самом деле не строго сферической: на сфере кривизна везде одинаковая, на всех расстояниях от полюса (который в "полярной системе координат на сфере" соответствует $r=0$), а в FLRW кривизна не постоянная, меняется в зависимости от координаты $t.$

[KVV]

Munin
Действительно, просто. : )
В принципе все это я и так понимал и осознавал, кроме пожалуй этого:

Munin в сообщении #525018 писал(а):

Перейдя к координатам Минковского, мы увидим, что эта псевдосфера вкладывается в световой конус будущего.

Я тут кое-что перетянул с чужого треда:

Munin в сообщении #524701 писал(а):

А разобраться в дилемме "расширение пространства / разбегание в пространстве", поверьте, не так просто.

На мой взгляд, это было бы дилеммой в случае рассмотренного нами плоского варианта метрики ФЛРУ, который позволяет перейти к метрике Минковского. С одной стороны мы имеем динамическую метрику, где компоненты метр. тензора зависят от времени, с другой стороны - статический мир Минковского. Но ведь в случае кривого пространства-времени, соответствующего ненулевой плотности энергии, нам никак не удастся избавится от временной зависимости пространственных компонент метр. тензора. Не так ли? А это уже веский повод говорить, что все таки "пространство расширяется".

[Munin]

KVV в сообщении #525041 писал(а):

С одной стороны мы имеем динамическую метрику, где компоненты метр. тензора зависят от времени, с другой стороны - статический мир Минковского.

Слово "динамический" означает не "меняющийся", а "связанный с силами". В механике динамика противопоставлена кинематике, а статика может рассматриваться как подраздел динамики. Вообще говорят о динамике, когда подразумеваеют некоторый расчёт движения системы, исходя из её внутренних и внешних взаимодействий. А у нас здесь речь о метрике, как о чём-то заданном (уравнения Эйнштейна или Фридмана подразумеваются уже решёнными). Здесь это слово не подходит.

KVV в сообщении #525041 писал(а):

Но ведь в случае кривого пространства-времени, соответствующего ненулевой плотности энергии, нам никак не удастся избавится от временной зависимости пространственных компонент метр. тензора. Не так ли? А это уже веский повод говорить, что все таки "пространство расширяется".

Да, когда мы говорим о космологии, при ненулевой плотности энергии у нас метрика будет переменной во времени. Но это повод говорить, что "пространство меняется". А как именно оно меняется, "расширяется" или нет - это вопрос всё ещё выбора системы пространственно-временных координат. Зато фразе "галактики разбегаются" может быть придан смысл, независимый от выбора системы координат.

[KVV]

Munin в сообщении #525087 писал(а):

Слово "динамический" означает не "меняющийся", а "связанный с силами". В механике динамика противопоставлена кинематике, а статика может рассматриваться как подраздел динамики. Вообще говорят о динамике, когда подразумеваеют некоторый расчёт движения системы, исходя из её внутренних и внешних взаимодействий. А у нас здесь речь о метрике, как о чём-то заданном (уравнения Эйнштейна или Фридмана подразумеваются уже решёнными). Здесь это слово не подходит.

Ясно. Спасибо.

Munin в сообщении #525087 писал(а):

Да, когда мы говорим о космологии, при ненулевой плотности энергии у нас метрика будет переменной во времени. Но это повод говорить, что "пространство меняется". А как именно оно меняется, "расширяется" или нет - это вопрос всё ещё выбора системы пространственно-временных координат. Зато фразе "галактики разбегаются" может быть придан смысл, независимый от выбора системы координат.

Т.е. в "расширяющейся" метрике ФЛРУ всегда можно перейти к СК, в которых пространство, например, сжимается?

[Munin]

KVV в сообщении #525890 писал(а):

Т.е. в "расширяющейся" метрике ФЛРУ всегда можно перейти к СК, в которых пространство, например, сжимается?

Я не очень понял, что именно вы имеете в виду. Но можно, разумеется, выбрать систему координат, в которой линии $x^{1,2,3}=\mathrm{const}$ будут "обгонять" галактики - в такой СК галактики будут "двигаться к нам", а красное смещение будет выглядеть суммной других эффектов. Или можно выбрать систему координат, в которой пространственная кривизна будет возрастать со временем.

[Dolalex]

Все это здорово, но пока видится только как математические упражнения.
Нельзя ли добавить немного физики?
Исходные предположения, граничные условия, интерпретация.
Я, например, не улавливаю, считаете ли Вы действующей гравитацию, или заменяете ее искривлением пространства-времени?

[Munin]

Чтобы добавить физики, надо сначала поупражняться с математикой. Иначе физика будет непонятна.

Метрика FLRW вводится из космологических исходных предположений, в которые углубиться можно, но я пока не хочу. По крайней мере, пока вы задаёте вопросы типа "заменяю ли я гравитацию искривлением пространства-времени".

[KVV]

Munin в сообщении #525907 писал(а):

Я не очень понял, что именно вы имеете в виду. Но можно, разумеется, выбрать систему координат, в которой линии $x^{1,2,3}=\mathrm{const}$ будут "обгонять" галактики - в такой СК галактики будут "двигаться к нам", а красное смещение будет выглядеть суммной других эффектов. Или можно выбрать систему координат, в которой пространственная кривизна будет возрастать со временем.

Я имел в виду, можно ли перейти к такой СК, в которой линии $x^{1,2,3}=\mathrm{const}$ будут "сближаться" со временем, галактики соответственно будут "двигаться от нас" с большой скоростью? Если нет, то думаю, "пространство все таки расширяется". : )