Производная общей функции

[MASHA67]

Найти производную в $D'$ такой функции : $f(x)=x$ при $ 0\le x\le1, f(x)=-1 $ при $x<0$, $f(x)=0 $ при $x>1$

Я заменил Ваше 0\lex\le1 на 0\le x\le1 (пробельчик вставил), и формула стала нормальной. АКМ

[arseniiv]

И что не так?

[MASHA67]

Не знаю как посчитать. получается 1 на отрезке и 0 на оставшейся прямой!

[AKM]

Я перечитал главу про производные в учебнике, и вроде правильно у Вас...
Что такое $D'$ мне там не рассказали, но, наверное, и не важно.
Вероятно, от Вас ещё требуются строгие неравенства, так как в точках $x=0,\:x=1$ производной как бы нет.

[arseniiv]

Может, в задании сказано, что надо с использованием дельта-функции расписать? Непонятное задание.

[MASHA67]

Задание написано четко , но вот что от меня хотят мне не понятно! По определению вроде получается вот так $F ' (\varphi)=-F(\varphi ' )= - \int_{0}^{1}\varphi ' x dx$

[ewert]

От Вас хотят, чтобы Вы написали в качестве ответа разность двух дельта-функций плюс прямоугольничек. А уж как требуют это обосновать -- гадать не хочу, Вам должно быть виднее.

[Nimza]

$\langle f', \varphi \rangle = - \langle f, \varphi' \rangle = \int\limits_{-\infty}^{0} \varphi'(x) dx - \int\limits_{0}^{1} x \varphi'(x) dx$
Интегрируя по частям, приводите к виду $\langle h, \varphi \rangle$, $h$ будет производной в $D'$. Причём в первом интеграле нижний предел на самом деле конечен, так как у пробной функции ограничен носитель (она из $D$).

[ewert]

Nimza в сообщении #525212 писал(а):

Причём в первом интеграле нижний предел на самом деле конечен, так как у пробной функции ограничен носитель

Во-первых: "конечен"-- слишком слабо сказано. Во-вторых: поскольку речь о теории обобщённых функций (а не обобщённых производных, являющихся обычными функциями) -- под множеством пробных функций принято всё-таки понимать класс Шварца. Пусть это и несущественно.

[Nimza]

ewert в сообщении #525234 писал(а):

Во-вторых: поскольку речь о теории обобщённых функций (а не обобщённых производных, являющихся обычными функциями) -- под множеством пробных функций принято всё-таки понимать класс Шварца.

Хм... там где не пахнет преобразованием Фурье или чем-то схожим (преобразования Радона, ...) я пространство Шварца встречал намного реже, чем пространство $D$. В $D'$ сходимость проверять легче, да и часто ли в физических приложениях появляются неограниченные носители? Легче обрубить где-то далеко, если что-то там быстро убывает.