Симпатичная система

[Ktina]

Решить систему:

$$ \begin{cases} 21|2^{2^n}+2^n+1 \\ n\in\mathbb F \end{cases} $$

А если по-русски, то какие числа Фибоначчи удовлетворяют следующему условию: $2^{2^F}+2^F+1$ делится нацело на 21?

[nnosipov]

Ничего себе уравнения. Скорее уж сравнения.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #525028 писал(а):

Ничего себе уравнения. Скорее уж сравнения.

Вы правы, со словом "уравнений" я слегка переборщила. Пусть будет просто "система".

[Dave]

Если $F_0=0, \; F_1=1, \; F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$, то те $F_n$, для которых $n=24m+k, \, k \in \{3,6,21\}$.

(Оффтоп)

Когда уже эта теория чисел закончится? Помешались все на ней.

[Руст]

Чтобы делилось на 3 должно быть n четным., соответственно $2^n=4\mod 6$ а следовательно $2^{2^n}=2\mod 7$. Следовательно $2^n=4\mod 7$ или $n=2\mod 3$ вместо с четностью $n=2\mod 6$.
Число фибоначи делится на 2, если его номер делится (и только тогда) на 3. Вообще остаток по модулю 6 получается периодом 24 и $F_k=2\mod 6$ если $k=3,6,21\mod 24$.

[Ktina]

Dave в сообщении #525042 писал(а):

(Оффтоп)

Когда уже эта теория чисел закончится? Помешались все на ней.

(Оффтоп)

Не все