Является ли множество идеалом кольца?

[gentille]

Является ли множество идеалом кольца?
множество $Z[x^3,0]$многочленов , не содержащих членов со степенями меньшими трех, в кольце $Z[x]$ многочленов с целыми коэффициентами.

не могу привести пример для доказательства, очевидно здесь нужно проверить две аксиомы сложения и умножения.Я делала так:
1.$(x^a+x^b)+(x^c+x^d)=(x^c+x^d)+(x^a+x^b)$ ,где a,b,c,d меньше 3.
2.$(x^a+x^b)(x^c+x^d)$ где a и b меньше 3, с и d больше 3
$x^{a+c} + x^ {a+d} + x^{b+c} + x^{b+d} $ не принадлежит $Z[x^3,0]$, т.к a+c,a+d,b+c,b+d больше 3. След-но мн-во идеалом не является.
но мое решение оказалось неверным....почему?может быть нужен другой пример?

[Sonic86]

А почему Вы берете в качестве многочленов двучлены $x^a+x^b$. У Вас все элементы имеют вид $a_0+a_1x+a_2x^2$.

gentille в сообщении #523533 писал(а):

$x^{a+c} + x^ {a+d} + x^{b+c} + x^{b+d} $ не принадлежит $Z[x^3,0]$, т.к a+c,a+d,b+c,b+d больше 3.

Не всегда больше $3$, но может быть больше $3$. Попробуйте взять 2 конкретных многочлена из данного множества, перемножить и показать, что произведение лежит уже вне множества.

[gentille]

вот именно то))
я не понимаю,какие именно взять многочлены,в кач-ве примера) Подскажите)

[nnosipov]

gentille в сообщении #523533 писал(а):

множество $Z[x^3,0]$многочленов , не содержащих членов со степенями меньшими трех, в кольце $Z[x]$ многочленов с целыми коэффициентами.

Это множество является идеалом (порождённым многочленом $x^3$, см. определение идеала).

[gentille]

так?
$(x^2+2x+1)(3x^2+2x+1)=3x^4+6x^3+3x^2+2x^3+4x^2+2x+x^2+2x+1$ т.к $3x^4$ не принадлежит $Z[x^3,0]$ , то мн-во идеалом не является.

[nnosipov]

gentille, как выглядят многочлены, не содержащие членов степени меньше третьей?

[gentille]

xD,что-то у меня крыша едет уже...
$x^6+x^5+x^4$

-- 05.01.2012, 23:23 --

напишите,пожалуйста
какие конкретно многочлены взять?

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #523539 писал(а):

А почему Вы берете в качестве многочленов двучлены $x^a+x^b$. У Вас все элементы имеют вид $a_0+a_1x+a_2x^2$.

gentille писал(а):

$x^{a+c} + x^ {a+d} + x^{b+c} + x^{b+d} $ не принадлежит $Z[x^3,0]$, т.к a+c,a+d,b+c,b+d больше 3.

Не всегда больше $3$, но может быть больше $3$. Попробуйте взять 2 конкретных многочлена из данного множества, перемножить и показать, что произведение лежит уже вне множества.

Я вчера фигню написал (мне показалось, что степени многочленов меньше 3).
Поэтому Вам не надо брать какие-то конкретные многочлены. Ваше множество - идеал и это надо доказывать в общем виде. Выпишите элемент кольца в общем виде и элемент идеала в общем виде и перемножьте и сделайте вывод (со сложением, надеюсь, понятно).

[gentille]

стесняюсь спросить... каков же общий вид этих элементов?

[Sonic86]

Не ну извините, Вы многочлены видели? Какой у них общий вид? А у многочленов, у которых степени одночленов не меньше 3?