Вопрос по полугруппам

[Zhestkoff]

Ладно устал я в шарады играть, тут получается уже не помощь а игра разгадай ребус, которая не помогает мне понять суть, а наоборот порождает еще больше вопросов. Из всего это я не понял не алгоритм решения, не сути самого значения полугруппы...

[Sonic86]

Zhestkoff в сообщении #523460 писал(а):

Из всего это я не понял не алгоритм решения, не сути самого значения полугруппы...

Алгоритма решения как бы нет: полугрупп 5-го порядка много, а Вам нужно выбрать одну.
Для начинающего это сложное задание, без сути, к сожалению. Фактически Вам нужно просто угадать полугруппу и "отвязаться". Ну по дороге Вы узнаете несколько простеньких операций.

[arseniiv]

(Оффтоп)

А какая суть у значения группы?

Zhestkoff в сообщении #523460 писал(а):

тут получается уже не помощь а игра разгадай ребус, которая не помогает мне понять суть, а наоборот порождает еще больше вопросов

Я думал, что пишу вполне понятно. Что же, все ошибаются.

[Zhestkoff]

Так что до меня только что дошло:
равенство $p(qr)=(pq)r$ должно выполняться для всех $ a,b,c,d,e$.
То есть я должен подставлять свои $ a,b,c,d,e$ в выражение и тем самым проверять условие ассоциативности. Но если посмотреть так то как бы я не подставлял элементы в правой и левой части я буду получать максимальный элемент , правильно я думаю? и как это записать чтоб не проверять все 125 вариантов перестановок моих элементов...

[Sonic86]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #523471 писал(а):

А какая суть у значения группы?

Ну я имел ввиду, что группа была бы интуитивно понятнее. Не знаю. Зачем начинающим полугруппы?

[Zhestkoff]

У меня задание в контрольной которую я должен решить до 10го числа, я уже 2 дня уперся в первое задание с этой полугруппой, так же как и вы уперлись в правило не давать готовых ответов, я не прошу мне выдавать полностью готовое решение, я довольно таки сообразительный человек и при правильных подсказках смогу выстроить решение, а вы тут заставляете угадывать каждое слово, не кажется что вы немного преувеличиваете значение правила - не давать готовых решений...

[Sonic86]

Zhestkoff в сообщении #523477 писал(а):

я довольно таки сообразительный человек и при правильных подсказках смогу выстроить решение

Так Вам уже подсказали 3 операции: $\min (x,y), \max (x,y)$ и $x \cdot y := x$ (а еще есть сложение и умножение по модулю $5$). Выберите, какая Вам нравится, проверьте ассоциативность в общем виде и все.

-- Чт янв 05, 2012 16:10:23 --

Sonic86 в сообщении #523478 писал(а):

$x \cdot y := x$

Возьмите эту операцию. Тут будет все четко и просто.

[Zhestkoff]

Ну если взять нашу таблицу Келли, то там не все отношения между переменными будут удовлетворять этому условию, если за $x$ мы возьмем $a$ а за $y \ c$ то мы получим $c$ то есть это равенство не будет выполняться...

[Sonic86]

Zhestkoff в сообщении #523486 писал(а):

Ну если взять нашу таблицу Келли, то там не все отношения между переменными будут удовлетворять этому условию, если за $x$ мы возьмем $a$ а за $y \ c$ то мы получим $c$ то есть это равенство не будет выполняться...

Ниче не понял
Но таблица Кэли тут не нужна.
Вот пусть у Вас $x \cdot y = x$ для всех $x,y$. Вам надо проверить $(ab)c=a(bc)$ для всех $a,b,c$. Вот теперь все выкиньте из головы, и первым фактом проверьте второй и все. Вам больше ничего не нужно.

[Zhestkoff]

Простите Sonic86, но я действительно не понимаю как это проверить...Я окончательно запутался, что с той таблицей? во вторых с отношением меньше?

[Sonic86]

Zhestkoff в сообщении #523501 писал(а):

Я окончательно запутался, что с той таблицей?

Не, давайте забьем на таблицу. Иначе не сделаем никогда. Таблица - в другой раз.

Zhestkoff в сообщении #523501 писал(а):

во вторых с отношением меньше?

Отношение меньше предназначалось для операций $\min , \max$. Если мы выбрали $x \cdot y := x$, то оно нам не нужно - про него можно тоже благополучно забыть.

Надо только доказать, что если $x \cdot y = x$, то $(ab)c=a(bc)$. Просто вычислите левую и правую часть равенства.

[Zhestkoff]

Предположим $ab=a$ и $ac=a$ и $ bc=b$ тогда мы получим $a=a$

[Sonic86]

Вот! Вот и все! И не пришлось 125 соотношений проверять.

Zhestkoff в сообщении #523509 писал(а):

Предположим $ab=a$ и $ac=a$ и $ bc=b$

Только не предположим, а это следует из $xy=x$ соответствующими подстановками ($xy=x$, полагаем $x=a, y=b$ и получаем).

Только один момент. Я не имел ввиду, что $a,b,c$ - элементы данного множества. Надо было написать $u,v,w$ и проверять $(uv)w=u(vw)$, тогда путаницы не будет.

Если интерес не пропал, можете попробовать другую операцию.

[Zhestkoff]

Интерес? Вы уж меня простите, но то что для вас интуитивно понятно, мне дается очень тяжело, меня вообще трудно вывести из себя, но сейчас я готов кого-то порвать, и моя невеста только что попала под это настроение...Если я попробую еще хоть одну операцию, завтра в новостях будут говорить о невменяемом маньяке убийце)))Спасибо вам что пояснили, скажите мне последнее как мне это записать теперь чтоб ну как то красиво было...не могу ж я просто 6 букв написать тем самым решить задачу...

[_hum_]

На всяк случай...
Zhestkoff, чтобы задать полугруппу, нужно:
1) указать множество элементов этой полугруппы (в вашем случае оно уже дано - это $Т = \{a,b,c,d,e\}$);
2) указать операцию, а именно, правило $o: T\times T \rightarrow T$, которое бы любой упорядоченной паре $(x,y)$ элементов из множества $T$ ставило в соответствие элемент $z$ того же множества таким образом, чтобы выполнялось условие (ассоциативность): $o(o(x,y),z) = o(x,o(y,z))$.

Вам как раз нужно придумать какое-нибудь правило, удовлетворяющее условию ассоциативности. Правило можно задать "в лоб" с помощью таблицы, в которой каждой строке и столбцу приписывается отдельный элемент множества $T$, а на пересечениях стоит результат действия правила для соответствующей пары. А можно просто описать словами, например, такое правило "для всякой пары $(x,y)$ результатом берется элемент, стоящий первым в этой паре, то есть $x$" (коротко: $o(x,y) = x$). Главное придумать правило, удовлетворяющее условию ассоциативности. А проверку ассоциативности можно делать либо напрямую, перебирая все варианты $x$-ов, $y$-ов, либо аналитически (по аналогии с тем, как мы проверяем, что какая-то функция удовлетворяет тем или иным условиям не прибегая к проверке ее значений на каждом аргументе).