Диф ур эквивалентен интегральному уравнению

[grandmix]

Ребят помогите пожалуйста разобраться. В методичке написано, не могу понять
Диф.ур 1 ого порядка $y'=f(x,y)$ с начальным условием ${y}_{0}=y({x}_{0})$
эквивалентно интегральному уравнению
$y={y}_{0}+\int_{{x}_{0}}^{x}f(t,y)dt$
конкретно непонятно откуда тут берется t и почему интеграл тал определенным??. Для меня тема интегральные уравнения чужда.
я понимаю доказательство этой эквивалентности так:
т.к. $y'=\frac{dy}{dx}=f(x,y)$

$dy=f(x,y)dx $

$\int dy=\int f(x,y)dx$

(1) $y=\int f(x,y)dx+C$
Используя начальное условие, выразим C.Правильно ли я это делаю??
${y}_{0}=y({x}_{0})\Rightarrow {y}_{0}=\int f({x}_{0},y)dx+C\Rightarrow C={y}_{0}-\int f({x}_{0},y)dx$
Подставляя C в уравнение (1)
$y=\int f(x,y)dx-\int f({x}_{0},y)dx+{y}_{0}$
Вот как получается у меня. Скажите пожалуйста в чем ошибка??

[Carden]

grandmix в сообщении #522939 писал(а):

Скажите пожалуйста в чем ошибка??

В следующем

grandmix в сообщении #522939 писал(а):

${y}_{0}=y({x}_{0})\Rightarrow {y}_{0}=\int f({x}_{0},y)dx+C\Rightarrow C={y}_{0}-\int f({x}_{0},y)dx$

$\int f(x,y)dx$ есть функция от $x$. Обозначим её через $g(x)$:
$g(x):=\int f(x,y)dx$. Тогда $y_0=y(x_0)=g(x_0)+C$. Откуда $C=y(x_0)-g(x_0)$ и $y=g(x)-g(x_0)+y_0=\int\limits_{x_0}^{x} g'(t)dt+y_0=\int\limits_{x_0}^{x}(\int f(t,y)dt )'dt+y_0=\int\limits_{x_0}^{x}f(t,y)dt+y_0$

[grandmix]

Carden, большое пребольшое спасибо!!! :) Очень помогли