Найти норму оператора в гильбертовом пространстве

[gaziz]

Оператор А гильбертово пространства Н действует на себя, Аx=(x,a)b+(x,b)a. Найти норму оператора?

[mihailm]

(Оффтоп)

gaziz в сообщении #522716 писал(а):

... Найти норму оператора?

Ну попробуйте))

[ewert]

Ваш оператор самосопряжён и фактически двумерен, так что достаточно найти оба его собственных числа (ненулевых). Для этого просто выпишите матрицу этого оператора в базисе $\{a,b\}$. Только будьте аккуратны со скалярными произведениями, учитывая комплексность.

[bot]

(Оффтоп)

А если $a$ и $b$ линейно зависимы?

Может проще в лоб посчитать $(Ax, x)$?

[ewert]

bot в сообщении #523703 писал(а):

А если $a$ и $b$ линейно зависимы?

Для приличия действительно стоит оговорить этот случай отдельно. Однако можно этого и не делать: ясно, что всё непрерывно зависит от векторов $\vec a$ и $\vec b$.

bot в сообщении #523703 писал(а):

Может проще в лоб посчитать $(Ax, x)$?

Ну и что это даст? К тому же в комплексном случае ответ по форме достаточно неочевиден.

(В вещественном проще: там достаточно рассмотреть случай, когда оба вектора -- единичной длины, а тогда оба собственных вектора легко угадываются. Но это -- в вещественном.)

[bot]

А ну-да, через лоб только оценку сверху получим.