Найти полярное разложение для непрерывного оператора

[raiym]

Найти полярное разложение $A=WS=RW$ для непрерывного оператора $A \in \mathcal{B}(H)$ в случае
$H = L_2[0,1], Ax(t) = a(t)x(t)$, где $a \in L_{\infty}[0,1]$

[ewert]

Сопряжённый к оператору $A$ -- это оператор умножения на комплексно сопряженную функцию $\overline a(t)$. Соответственно, $A\,A^*$ -- это оператор умножения на $|a(t)|^2$ (как и $A^*A$, кстати). Т.е. $S=\sqrt{A^*A}$ -- это оператор умножения на просто $|a(t)|$, а частичная изометрия $W$ -- соответственно (и ясно, как при желании можно расширить её до унитарного).

[raiym]

Спасибо! Ты очень помог с наступающим!

[svv]

raiym, писать "Вы помогли"
Здесь принято у нас.
Как знать, вдруг тот, кто Вам помог,
В три раза старше Вас.

[raiym]

ewert, а как найти $W$? Это следует из того, что $A = WS$? И значит, что бы получилось $A$ я должен умножить $S$ на знак $a(t)$?

[ewert]

raiym в сообщении #523746 писал(а):

И значит, что бы получилось $A$ я должен умножить $S$ на знак $a(t)$?

В вещественном случае -- да. А в комплексном?...

[raiym]

В комлексном, наверное, на $arg(a)$?

[raiym]

Почему $a(t)$ с чертой будет сопряжен к $a(t)$?

[ewert]

Выпишите тупо определение сопряжённого оператора.