Коммутант - нормальный делитель.

[Peek-A-Boo]

Помогите пожалуйста доказать следующие утверждения:
Коммутант группы G является ее нормальным делителем, а фактор-группа по коммутанту - абелева.
Пытаюсь доказать первое утверждение:
Подгруппа H группы G является ее нормальным делителем тогда и только тогда, когда для любого элемента g из G выполняется gH=Hg.
В моем случае: g[h,f]=[a,b]g (где a,b,h,f из G). Или же: $ghfh^{-1}f^{-1}g^{-1}=[a,b]$. То есть нужно подобрать такие a и b, в чем и проблема.
Второе утверждение:
Фактор-группа по H абелева тогда и только тогда, когда: gfH=fgH. (т.к. H - нормальная). Тут тоже не понятно, как нужно доказывать.

[Sonic86]

Peek-A-Boo в сообщении #520005 писал(а):

Коммутант группы G является ее нормальным делителем

Можно доказывать, что если $[a,b] \in G'$, то и $g^{-1}[a,b]g \in G'$.

Peek-A-Boo в сообщении #520005 писал(а):

Фактор-группа по H абелева тогда и только тогда, когда: gfH=fgH. (т.к. H - нормальная).

Ну преобразуйте полученное соотношение хоть как-нибудь, догадайтесь как.
Все формулы набирайте, пожалуйста, в ТеХе, как написано здесь: http://topic183.html

[Peek-A-Boo]

Sonic86
Большое спасибо.
Как-то так:
1) Доказываю нормальность.
$ g[a,b]g^{-1} = gaba^{-1}b^{-1}g^{-1}=[gag^{-1},gbg^{-1}] \in G' $
2) Доказываю абелевость.
Преобразую соотношение к виду:
$ gf=fg[a,b] $
Доказываю его справедливость (доказываю, что всегда найдутся такие $a,b \in G$):
$ gf=fgaba^{-1}b^{-1} g^{-1}f^{-1}gf=aba^{-1}b^{-1} [g^{-1},f^{-1}]=[a,b] $

[bot]

Ну дык и какие у Вас $a$ и $b$?

[Null]

В коммутанте лежат не только комутаторы пар элементов но и их произведения, соответсвенно в $H$ лежат $[a_1,b_1][a_2,b_2]\dots[a_k,b_k]$. У вас это учтено?

[Peek-A-Boo]

Да, пожалуй, тут я погорячился, считая, что произведение коммутаторов - всегда коммутатор.
$g[a_1,b_1][a_2,b_2]...[a_{n-1},b_{n-1}][a_{n},b_{n}]g^{-1}= g[a_1,b_1]g^{-1}g[a_2,b_2]g^{-1}...g[a_{n-1},b_{n-1}]g^{-1}g[a_{n},b_{n}]g^{-1}=[ga_1g^{-1},gb_1g^{-1}][ga_2g^{-1},gb_2g^{-1}]...[ga_{n-1}g^{-1},gb_{n-1}g^{-1}][ga_{n}g^{-1},gb_{n}g^{-1}] \in G' $

[bot]

Peek-A-Boo в сообщении #520512 писал(а):

тут я погорячился, считая, что произведение коммутаторов - всегда коммутатор

Погорячились, но ведь это и не понадобилось. У Вас по второму пункту недоработка.