найти ортогональную проекцию вектора на подпространство

[maxmatem]

найти ортогональную проекцию вектора $x=(7;-4;-1;2)$ на подпространство заданного системой
$2p_{1}+p_{2}+p_{3}+3p_{4}=0$
$3p_{1}+2p_{2}+2p_{3}+p_{4}=0$

Я не совсем,понял, надо ли от параметра $p$ избавляться, и и если решить систему, то будут ли полученые векторы линейной оболочкой......вообщем подтолкните на ход решения

[bot]

Подпространство и его ортогональное дополнение связаны очень просто - если одно задано систеиой уравнений, то нахаляву для другого имеем систему образующих и наоборот.

[maxmatem]

хорошо я решил данную систему, тогда Что я в итоге имею.....я извиняюсь,что задаю такие вопросы просто этой частью давно не занимался...
$y$ называется ортог.проекцией вектора $x$ на подпространство $L$ если вектор $x-y$ ортогонален $L$

[ewert]

Система задаёт некоторое двумерное подпространство векторов $\vec p\equiv(p_1;p_2;p_3;p_4)$. Каждое уравнение -- это условие ортогональности вектора $\vec p$ и вектора, составленного из коэффициентов этого уравнения; обозначим эти векторы как $\vec a$ и $\vec b$. Другими словами, это подпространство -- ортогональное дополнение к векторам $\vec a$ и $\vec b$ или, что то же самое, ортогональное дополнение к линейной оболочке этих векторов.

Проекция $\vec x$ на подпространство -- это вектор $\vec p$, который 1) лежит в этом подпространстве, т.е. удовлетворяет системе и 2) для которого разность $\vec p-\vec x$ ортогональна этому подпространству, т.е. принадлежит линейной оболочке $\vec a$ и $\vec b$, т.е. представляется как $\vec p-\vec x=t\vec a+s\vec b$ с некоторыми параметрами $t,s$. Выразите отсюда формально $\vec p$ через всё остальное, подставьте в исходную систему -- получится вполне конкретная системка из двух уравнений для двух неизвестных $t$ и $s$.

[maxmatem]

ewert
а точно нe $x-p=......$ ?

[ewert]

maxmatem в сообщении #519562 писал(а):

а точно нe $x-p=......$ ?

А какая разница, какой ставить знак, если речь об условии ортогональности?...

Какой выгоднее для формальных преобразований, тот и надо ставить. Мой вариант чуть выгоднее.

[maxmatem]

ewert
спасибо,мой отвeт $p(5;-5;-2;-1)$

Кстати ,а вот eсли задано $V^{4}$ задана точка от туда и двумeрная плоскость с-мой уравнeний то наимeньшая размeрность плоскости содeржащeй эту точку и ту плоскость 2 ?

[ewert]

maxmatem в сообщении #519572 писал(а):

задана точка от туда и двумeрная плоскость с-мой уравнeний то наимeньшая размeрность плоскости содeржащeй эту точку и ту плоскость 2 ?

А подумайте сами: точка то ли принадлежит той плоскости, то ли не принадлежит.

(чуть более содержательный, хотя и тоже очень простой вопрос: какова наибольшая размерность)

[maxmatem]

точка не принадлежит данной плоскости поэтому надо составить уравнение пл-ти размерности 3
Я думая так.Найти направляющий вектор заданной плоскости. я могу,и точку знаю,но тогда мне нехватает ещё одного направляющего вектора....что делать?

[ewert]

Не нужно направляющих векторов. Ваша двумерная плоскость задавалась как пересечение двух трёхмерных (заданных уравнениями системы). Произвольная трёхмерная плоскость, проходящая через эту двумерную, описывается некоторой нетривиальной комбинацией этих двух уравнений (поскольку если к такой комбинации добавить одно из старых уравнений, то получится система, эквивалентная исходной). Так вот и подберите такую комбинацию, чтобы координаты точки ей удовлетворяли. Т.е.: умножьте первое уравнение на $t$, второе на $s$, сложите (не раскрывая скобок), подставьте в то, что получится, координаты точки и подберите $t,s$ так, чтобы всё сокращалось.

[maxmatem]

ewert
т.е я полученное уравнение просто добавлю к исходной системе?

-- Вс дек 25, 2011 16:47:17 --

Вопервых у меня вопрос, почему эта двумерная плоскость есть пересечение двух трёхмерных. И у меня ышло, что $t=s$
а как раз вот та сумма с конкрeтными парамeтрами и будeт уравнeниeм

[ewert]

maxmatem в сообщении #519651 писал(а):

т.е я полученное уравнение просто добавлю к исходной системе?

Это ещё зачем?... Вы его просто получите.

maxmatem в сообщении #519651 писал(а):

Вопервых у меня вопрос, почему эта двумерная плоскость есть пересечение двух трёхмерных.

А по определению -- потому, что она задана системой уравнений тех трёхмерных плоскостей. Система же по определению задаёт соответствующее пересечение.

maxmatem в сообщении #519651 писал(а):

И у меня ышло, что $t=s$

Ну это невозможно проверить: точку-то Вы не указали.