2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 11:19 
помогите сформулировать доказательство сходимости
$$\int _{0}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$$
я говорил так:
есть 2 сомнительные точки, 0 и 1. возьмем c : 1< c < 0.
рассмотрим интеграл:
$$\int _{c}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$$
возьмем b<1 и b>c
$$\int _{1}^{b} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx = \int _{c}^{b} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx + \int _{b}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$$
в силу того, что подынтегральная функция непрерывна для любого конечного отрезка [c,b] => первое слагаемое сходится.
нас интересует только второе слагаемое.
пусть $b = 1 - \varepsilon$;  \varepsilon \to 0
тогда
$$\int _{b}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx \approx \int _{b}^{1} \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arctg(a)\arcsin(b)$$
что есть конечное число, следовательно интеграл от c до 1 сходится.
теперь рассмотрим интеграл:
$$\int _{0}^{c} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$$
по аналогии с первым случаем нам интересен только интеграл от 0 до b, где $b=\varepsilon ; \varepsilon \to 0$
$$\int _{0}^{b} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx \approx \int _{0}^{b} \frac{ax}{x \sqrt{1-x^2}} dx = a\arcsin(b)$$
что есть конечное число, следовательно интеграл от 0 до c сходится.
значит и первоначальный интеграл сходится на интервале от 0 до 1.

преподаватель сказал, что неправильно. буду благодарен, если укажите на неправильные или спорные места в рассуждении.

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 11:32 
Аватара пользователя
Все рассуждения со знаком $\approx$ следует прокручивать в уме, чисто для себя, и там же оставлять. На суде такие аргументы развалятся. Туда надо выносить строгое "больше", "меньше", "должен, вот расписка", "убил, вот свидетели".

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:11 
сказать, что в окрестности 1 функция $\frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} $ эквивалентна функции $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$, поэтому будем интегрировать её, так?

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:25 
ИСН, достаточно ли показать, что подынтегральная функция всюду на промежутке $\left[0,1\right]$ непрерывна? (по идее, достаточно даже кусочной непрерывности, главное, чтобы в бесконечность не обращалась).

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:29 
Inverse12 в сообщении #518848 писал(а):
сказать, что в окрестности 1 функция $\frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} $ эквивалентна функции $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$, поэтому будем интегрировать её, так?

Так вполне можно было бы сказать, будь это правдой. Но увы: вверху остаётся отнюдь не $\arctg a$.

-- Пт дек 23, 2011 13:30:39 --

srm в сообщении #518849 писал(а):
достаточно ли показать, что подынтегральная функция всюду на промежутке $\left[0,1\right]$ непрерывна?

Достаточно, но увы, не получится -- она там не непрерывна ни в каком смысле.

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:32 
Аватара пользователя
del

(Оффтоп)

Какой я медлительный однако. Пока отвечал, ТС успел исправить, а ewert ещё и ответить.

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:34 
ewert, ну да. В единице предел стремится к бесконечности..
Но maple всё-равно проинтегрировал.

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:45 
srm в сообщении #518852 писал(а):
Но maple всё-равно проинтегрировал.

А ему-то что: после формального интегрирования на пределах особенности уже не остаётся.

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:52 
ewert, не доходит. Чтобы функция была интенгрируема необходимо, чтобы существовал предел интегральной суммы. Верно? То есть подынтегральная функция может и не быть ограниченной - главное, чтобы предел интегральной суммы существовал (например, $\int_{-a}^a \frac{1}{x}dx$) Но как это связано с теоремой об ограниченности интегрируемой функции?

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:57 
ewert в сообщении #518850 писал(а):
Inverse12 в сообщении #518848 писал(а):
сказать, что в окрестности 1 функция $\frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} $ эквивалентна функции $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$, поэтому будем интегрировать её, так?

Так вполне можно было бы сказать, будь это правдой. Но увы: вверху остаётся отнюдь не $\arctg a$.


почему? разве я не могу просто подставить кое-где x=1?

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:57 
srm в сообщении #518854 писал(а):
Чтобы функция была интенгрируема необходимо, чтобы существовал предел интегральной суммы. Верно? То есть подынтегральная функция может и не быть ограниченной - главное, чтобы предел интегральной суммы существовал (например, $\int_{-a}^a \frac{1}{x}dx$)


крикливые студенты не знают, что функция $1/x$ не интегрируема на $[-a,a]$

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:59 
Inverse12 в сообщении #518855 писал(а):
почему? разве я не могу просто подставить кое-где x=1?
нет, нельзя сначала подставлять пределы, а потом интегрировать.

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 13:13 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #518850 писал(а):
Inverse12 в сообщении #518848 писал(а):
сказать, что в окрестности 1 функция $\frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} $ эквивалентна функции $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$, поэтому будем интегрировать её, так?

Так вполне можно было бы сказать, будь это правдой. Но увы: вверху остаётся отнюдь не $\arctg a$.

Да все правильно Inverse12 написал. Эквивалентность имеет место, интеграл от $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$ сходится, поэтому (в единице) сходится и исходный интеграл.

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 13:18 
Inverse12 в сообщении #518855 писал(а):
разве я не могу просто подставить кое-где x=1?

Можете, у нас свободная страна. Только какое отношение это имеет к эквивалентности?...

srm в сообщении #518854 писал(а):
Чтобы функция была интенгрируема необходимо, чтобы существовал предел интегральной суммы. Верно? То есть подынтегральная функция может и не быть ограниченной - главное, чтобы предел интегральной суммы существовал

Вот совершенно не то есть. Для неограниченной функции предела не существует. Интегрируемость же в несобственном смысле -- это уже некоторая дополнительная надстройка над конструкцией определённого интеграла, понимаемого как предел интегральных сумм.

И при вычислении несобственного интеграла надо взять интеграл по суженному промежутку, а потом найти предел этого результата при условии, что концы промежутка стремятся к нулю и единице соответственно. Это формально говоря. Но фактически полученная после интегрирования функция концов промежутка оказывается определённой и в граничных точках, так что нахождение пределов сводится просто к подстановке границ в полученное выражение.

 
 
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 13:22 
ewert в сообщении #518862 писал(а):
Интегрируемость же в несобственном смысле -- это уже некоторая дополнительная надстройка над конструкцией определённого интеграла, понимаемого как предел интегральных сумм.
Спасибо, понятно.

Вот, кстати, разбирается пример с функцией $\frac{1}{x}$.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group