Найти циркуляцию вектора через кривую

[Anexroid]

Вектор $F = (y^2 + z^2, x^2 + z^2, y^2 + x^2)$
Найти циркуляцию вектора вдоль кривой $L$, где $L$ - верхняя петля ($z \geqslant 2$) кривой $x^2 + y^2 + z^2 = 4z, x^2 + y^2 = 2x$ положительно ориентированной на внешней стороне сферы.

Построил, получил кривую Вивиани.

Нашел ротор и нормаль к сфере, правда не уверен, что нормаль положительно ориентирована.
В итоге, получил $\operatorname{rot}F \cdot n = \frac{4y^2 - 8x - 4yz + 8y}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + (2z - 4)^2}}$

Теперь надо найти интеграл от этого по $dS$ где $S$ как я понимаю - площадь поверхности сферы, ограниченной кривой. И как это сделать?

[svv]

А давайте попробуем найти циркуляцию, пользуясь её определением. Мне кажется, в данном случае это будет проще. Надо вычислить интеграл по верхней петле
$\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf l=\int (F_x dx+F_y dy +F_z dz) = \int (F_x\frac{dx}{dt}+F_y\frac{dy}{dt}+F_z\frac{dz}{dt})\; dt$

Уравнения поверхностей перепишем в виде
$\begin{cases}x^2+y^2+(z-2)^2=4\\(x-1)^2+y^2=1\end{cases}$

Теперь нужна удобная параметризация кривой Вивиани. Чтобы ничего не изобретать, берем отсюда, слегка редактируя под наш случай:
$\begin{cases}x=1+\cos t \\ y=\sin t \\ z=2\sin \frac t 2 + 2 \end{cases}$
Проверьте подстановкой, что такие $x,y,z$ удовлетворяют обоим уравнениям поверхностей (я проверил). С этого момента уравнения поверхностей больше не нужны.

Из параметрического представления кривой Вивиани видим, что интервал $[0, 4\pi]$ соответствует всей кривой, а интервал $[0, 2\pi]$ -- верхней петле. При этом, если смотреть сверху, при увеличении $t$ верхняя петля будет обходиться против часовой стрелки, как и требуется. Итак, надо найти интеграл
$\int\limits_0^{2\pi} (F_x\frac{dx}{dt}+F_y\frac{dy}{dt}+F_z\frac{dz}{dt})\; dt$

Что Вам надо сделать:
1) Выразить компоненты $F_x=y^2 + z^2, F_y=x^2 + z^2, F_z=y^2 + x^2$ через $t$ и подставить в интеграл.
2) Найти производные $\frac {dx}{dt}, \frac {dy}{dt}, \frac {dz}{dt}$ как функции $t$ и подставить в интеграл.
3) Найти интеграл.

[Ales]

$\int \limits_{x^2 + y^2 + z^2 = 4z, x^2 + y^2 = 2x,z>2} ((y^2+z^2)dx+(x^2+z^2)dy+(x^2+y^2)dz)=$
$=\int \limits_{x^2 + y^2 + z^2 = 4z, x^2 + y^2 = 2x,z>2} ((4z-x^2)dx+(4z-y^2)dy+(4z-z^2)dz)=$
раз кривая замкнута, то можно выкинуть полные интегралы
$=4\int \limits_{x^2 + y^2 + z^2 = 4z, x^2 + y^2 = 2x,z>2} z(dx+dy)$

Используя предложенную выше параметризацию (здесь важно не напутать со знаком и учесть ориентацию кривой, я выбрал знак наугад)
$=4\int \limits_0^{2\pi} 2(\sin {\frac t 2}+1)(\cos t-\sin t)dt=$
используя симметрии для графиков синуса и косинуса выкидываем то, что равно нулю
$=8\int \limits_0^{2\pi}\sin {\frac t 2} \cos t dt=$
заменяя $\cos {\frac t 2} =\tau$
$=16\int \limits_{-1}^{1}(2\tau^2-1) d\tau=32\int \limits_0^1d(\frac 2 3 \tau^3-\tau)=-10.66666...$

[svv]

Ales, спасибо! А что Вам вдруг захотелось найти этот интеграл? Обычно охотников мало...

[Ales]

svv в сообщении #513019 писал(а):

Ales, спасибо! А что Вам вдруг захотелось найти этот интеграл? Обычно охотников мало...

Я хотел обратить внимание автора темы на то, как можно применять дифференциалы и дифференциальные формы.
Мне кажется, что при изучении анализа эти вопросы освещаются недостаточно.
Еще есть стандартные и полезные математические приемы - симметрии, ряды Фурье.
В этом примере они хорошо демонстрируются. Если автор научится таким приемчикам и освоит дифференциалы, интегрирование дифференциальных форм, то у него никогда не будет проблем с решением разных криволинейных, поверхностных и других интегралов.

[Anexroid]

Цитата:

раз кривая замкнута, то можно выкинуть полные интегралы

Вот эту фразу не совсем понял, можете пояснить, пожалуйста?

Ну и не совсем понятно, как определить ориетацию кривой, т.к даже вы взяли её наугад

Цитата:

Еще есть стандартные и полезные математические приемы - симметрии, ряды Фурье.

Симметрии - более-менее вроде понял, а вот ряды Фурье пока не прошли, при том, что собственно курс мат.анализа закончился. Может будет на ТФКП или дифурах каких-нибудь...

[Ales]

Anexroid в сообщении #515338 писал(а):

Цитата:

раз кривая замкнута, то можно выкинуть полные интегралы

Вот эту фразу не совсем понял, можете пояснить, пожалуйста?

Ну и не совсем понятно, как определить ориетацию кривой, т.к даже вы взяли её наугад

Цитата:

Еще есть стандартные и полезные математические приемы - симметрии, ряды Фурье.

Симметрии - более-менее вроде понял, а вот ряды Фурье пока не прошли, при том, что собственно курс мат.анализа закончился. Может будет на ТФКП или дифурах каких-нибудь...

Полные интегралы (на самом деле интегралы полных дифференциалов, термин "полный интеграл" я употребил неправильно):
$=\int \limits_{x^2 + y^2 + z^2 = 4z, x^2 + y^2 = 2x,z>2} ((-x^2)dx+(-y^2)dy+(4z-z^2)dz)=$
$=\int \limits_{x^2 + y^2 + z^2 = 4z, x^2 + y^2 = 2x,z>2} d(-\frac {x^3} 3-\frac {y^3} 3+2z^2-\frac {z^3} 3)=$ разнице выражения $(-\frac {x^3} 3-\frac {y^3} 3+2z^2-\frac {z^3} 3)$ в начале и конце пути, кривая замкнута, начало и конец совпадают, следовательно интеграл равен нулю.

Чтобы правильно поставить знак при переходе к параметру надо понять, как ориентирована кривая, то есть в какую сторону движемся по кривой когда интегрируем. Для этого можно нарисовать картинку, или представить ее мысленно.
Ориентация указана - положительная на сфере, значит обход против часовой стрелки, если смотреть снаружи сферы.
(почему бы не написать так в условии задачи? зачем вводить лишние понятия?)

Ряды Фурье - разложения функций (периодических) в суммы синусов и косинусов.
Это как разложение сложной волны (белого света) по ее спектру в сумму простейших волн (красный - желтый - синий).
В курс высшей математики ряды Фурье должны входить обязательно.
Что надо помнить оттуда для этой задачи? особенно ничего, это просто ассоциация

[zhekka3]

У вас ротор найден неверно, впрочем как и скалярное произведение.
В итоге должно быть $2(y-x)dS$

[Anexroid]

Народ подсказывает, что ответ - $0$...

-- Чт дек 15, 2011 03:06:44 --

svv в сообщении #512931 писал(а):

Из параметрического представления кривой Вивиани видим, что интервал $[0, 4\pi]$ соответствует всей кривой, а интервал $[0, 2\pi]$ -- верхней петле.

Можете еще это пояснить?

[svv]

$\begin{cases}x=1+\cos t \\ y=\sin t \\ z=2\sin \frac t 2 + 2 \end{cases}$
Отсюда видно, что у функций $x(t)$ и $y(t)$ период $2\pi$, а у $z(t)$ период $4\pi$. Значит, только через $4\pi$ от данного $t$ начнут повторяться все координаты, и мы вернемся в исходную точку.

Вычислите, каким точкам $(x,y,z)$ соответствуют значения параметра: $t=0, \;t=\pi, \;t=2\pi, \;t=3\pi, \;t=4\pi$. Найдите соответствующие точки на кривой Вивиани, и Вы поймёте, как в зависимости от $t$ подвижная точка $(x(t),\;y(t),\;z(t))$ путешествует по кривой.

[Anexroid]

Всё, понял, спасибо

[Anexroid]

Ales в сообщении #512993 писал(а):

$\int \limits_{x^2 + y^2 + z^2 = 4z, x^2 + y^2 = 2x,z>2} ((y^2+z^2)dx+(x^2+z^2)dy+(x^2+y^2)dz)=$
$=\int \limits_{x^2 + y^2 + z^2 = 4z, x^2 + y^2 = 2x,z>2} ((4z-x^2)dx+(4z-y^2)dy+(4z-z^2)dz)=$
раз кривая замкнута, то можно выкинуть полные интегралы
$=4\int \limits_{x^2 + y^2 + z^2 = 4z, x^2 + y^2 = 2x,z>2} z(dx+dy)$

Используя предложенную выше параметризацию (здесь важно не напутать со знаком и учесть ориентацию кривой, я выбрал знак наугад)
$=4\int \limits_0^{2\pi} 2(\sin {\frac t 2}+1)(\cos t-\sin t)dt=$
используя симметрии для графиков синуса и косинуса выкидываем то, что равно нулю
$=8\int \limits_0^{2\pi}\sin {\frac t 2} \cos t dt=$
заменяя $\cos {\frac t 2} =\tau$
$=16\int \limits_{-1}^{1}(2\tau^2-1) d\tau=32\int \limits_0^1d(\frac 2 3 \tau^3-\tau)=-10.66666...$

Сегодня, когда пытался сдать эту задачу, возникла проблема с объяснением. В частности, не совсем понятно как использовали симметрию, и почему из $8\int \limits_0^{2\pi}\sin {\frac t 2} \cos t dt$ после замены $\cos {\frac t 2} =\tau$ получили $=16\int \limits_{-1}^{1}(2\tau^2-1) d\tau$, т.к попытался подставить сам и у меня так не получилось.

[Anexroid]

Никто не знает?

[svv]

Вот интеграл $\int \limits_0^{2\pi} (\sin {\frac t 2}+1)(\cos t-\sin t)dt$.
Если раскрыть скобки, то получится четыре слагаемых:
$\sin\frac t 2 \cos t\,;\;-\sin\frac t 2 \sin t\,;\;\cos t\,;\;-\sin t$
Утверждается, что, посмотрев на пределы, последние два можно спокойно выбросить. Понятно, почему?
Если непонятно, тогда честно найдите $\int \limits_0^{2\pi} \cos t \;dt$, а потом всё-таки догадайтесь, что можно было его и сразу выбросить.

[Anexroid]

Это понял. А вот последнюю замену - нет...