квадратное уравнение с комплексными числами

[Impi]

Дано
$z^2+3iz+4=0$
Ищем D
$D = 9i^2-16$
чтобы найти корни нужно извлеч корни из D
по формуле это будет
$9i^2-16=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{9^2+16^2}+9}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{9^2+16^2}-9}{2}}$
но гм, под корнями что-то "плохие числа получаются, может есть какая-то другая формула вычисления корня из комплексного числа?

[gris]

дискриминант попроще посчитайте. $i^2=...$

[myra_panama]

Impi в сообщении #517726 писал(а):

$9i^2-16=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{9^2+16^2}+9}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{9^2+16^2}-9}{2}}$

Это откуда?

[Impi]

myra_panama в сообщении #517729 писал(а):

Impi в сообщении #517726 писал(а):

$9i^2-16=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{9^2+16^2}+9}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{9^2+16^2}-9}{2}}$

Это откуда?

на стороннем ресурсе нашла)

gris в сообщении #517728 писал(а):

дискриминант попроще посчитайте. $i^2=...$

ага)
$D=-25$
$x= \frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a}=\frac{-3i\pm\sqrt{-25} }{2}=\frac{-3i\pm5i }{2}$
ну и тогда
$x_1=i
$x_2=-4i$$

-- Вт дек 20, 2011 18:46:38 --

а еще такое задание, оно меня напрягает своей простотой, тут ничего расписывать не надо?
Дано
$\sqrt[3] {125i}$
решение оО
$\sqrt[3] {125i}=5i$

[gris]

Во-первых, это не кубический корень, так как $(5i)^3\ne 125i$
Во-вторых кубических корней три.
В-третьих, тут и правда решение простое, но если не помните наизусть все корни из $i$ до тысячной степени, то воспользуйтесь формулой Муавра

[Impi]

Извините просто минус куда-то потеряла)
$\sqrt[3] {125i}=\sqrt[3] {125}\sqrt[3] {i}=-5i$ Так же?

[Someone]

Но всё равно корней должно быть три.

[gris]

Пункт первый выполнили. Теперь найдите ещё два корня. Конечно, можно и с помощью квадратного уравнения, но Муавр так старался.

[missgraffiti]

существует три корня кубических из любого комплексного числа. Вы нашли только один...
обычно в учебных заданиях предлагают перейти к тригонометрической форме записи, а потом:

Замена простых формул картинками на форуме не допускается. Картинка удалена //AKM

[Impi]

мм ну тогда
$\lvert z\rvert = r = \sqrt{a^2+b^2}=5 $
$\cos \varphi=0$
$ \sin \varphi=1$
аргумент $\pi/2$
$z_1=5(\cos \pi/2+i \sin \pi/2)=5(\cos 3\pi/2+i \sin 3\pi/2)=-5i$
$z_2=5(\cos \pi/2+i \sin \pi/2)=5(\cos 3\pi/2+i \sin 3\pi/2)=-5i$
$z_3=5(\cos \pi/2+i \sin \pi/2)=5(\cos 3\pi/2+i \sin 3\pi/2)=-5i$
и я снова где-то что-то напутала...

[spaits]

Возьмите в формуле три значения $k$ и получите три корня (значение $k=0$ Вы уже использовали).

[Impi]

$z_1=5(\cos \frac{\frac{\pi}{2}}{3}+i \sin \frac{\frac{\pi}{2}}{3})=-5i$

$z_1=5(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2 \pi}{3}+i \sin \frac{\frac{\pi}{2}+2 \pi}{3})=$

$z_2=5(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+i \sin \frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})=$
но ведь косинус и синус периодические функции...везде $-5i$

-- Вт дек 20, 2011 21:03:55 --

случайно отослала черновик) переделала)

[ИСН]

Вы про разные корни слышали раньше? Вот, например, квадратные корни из 1: это и 1, и -1. Проверить легко. Ужас, да? Как же это получается, если по формуле?

[spaits]

Impi в сообщении #517817 писал(а):

косинус и синус периодические функции...

На $3$ разделите.

[Impi]

$z_1=5(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2 \pi}{3}+i \sin \frac{\frac{\pi}{2}+2 \pi}{3})=5(\cos \frac{\frac{5\pi}{2}}{3}+i \sin \frac{\frac{5\pi}{2}}{3})=5(\cos \frac{15\pi}{2}+i \sin \frac{15\pi}{2})$
разве не так?