Раскрашенные числа

[Ktina]

Для каких натуральных n верно следующее утверждение?

При любой раскраске элементов множества $\{1, 2, \dots, n\}$ в красный и синий цвета найдутся такие числа $a, b, c, d$ (не обязательно различные), принадлежащие этому множеству, что все они одного цвета и $a+b+c=d$.

(под любой раскраской подразумевается, что каждое число может быть либо красным, либо синим - количество возможных раскрасок равно $2^n$)

[Хорхе]

(решение)

Для $n\ge 11$.

При $n=10$ красим $1,2,9,10$ в один цвет, остальное в другой.

Иначе, если $1$ -- красное, то $3=1+1+1$ -- синее, $9=3+3+3$ -- красное, $7=9-1-1$ -- синее, $2=(7-3)/2$ -- красное, $4=1+1+2$ -- синее. Всё: $11=1+1+9=3+4+4$.

[Ktina]

Хорхе в сообщении #516152 писал(а):

(решение)

Для $n\ge 11$.

При $n=10$ красим $1,2,9,10$ в один цвет, остальное в другой.

Иначе, если $1$ -- красное, то $3=1+1+1$ -- синее, $9=3+3+3$ -- красное, $7=9-1-1$ -- синее, $2=(7-3)/2$ -- красное, $4=1+1+2$ -- синее. Всё: $11=1+1+9=3+4+4$.

Элегантно.

(Оффтоп)

У меня немножко длиннее получилось. Я рассмотрела 2 случая:
1) 1 и 2 одного цвета.
2) разного.

Но ответ тот же