Парадокс релятивистской динамики

[rylov]

Рассмотрим парадоксальный случай, когда точка (нейтрино), движущаяся с досветовой переменной скоростью, обгоняет фотон движущийся со скоростью света. Правда, обгон получается не в среднем, а только в окрестности тех точек, где скорость нейтрино является максимальной, но досветовой. Кажется невозможным, чтобы частица, движущаяся с досветовой скоостью, могла обогнать частицу (фотон), движущуюся со скоростью света.
Пусть в системе координат $K'$ мировая линия нейтрино имеет вид

$$t^{\prime }=\tau ,\quad x^{\prime }=R\sin \left( \Omega \tau \right) ,\quad y^{\prime }=R\cos \left( \Omega \tau \right) ,\quad z^{\prime }=0 $$

Скорость в этой системе координат

$$v^{\prime }=\frac{dx^{\prime }}{dt^{\prime }}=R\Omega \cos \left( \Omega \tau \right) ,\quad \left( v^{\prime }\right) ^{2}=\left( R\Omega \cos \left( \Omega \tau \right) \right) ^{2}<c^{2} $$

Если

$$\left( \frac{R\Omega }{c}\right) <1 $$

То скорость частицы меньше скорости света. В системе координат $K$ уравнение мировой линии выглядит так

$$ ct=\gamma \left( ct^{\prime }-\beta x^{\prime }\right) ,\quad x=\gamma \left( x^{\prime }-\beta ct^{\prime }\right) ,\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{% 1-\beta ^{2}}}\quad y=y^{\prime },\quad z=z^{\prime }, $$

$$ ct=\gamma \left( c\tau -\beta R\sin \left( \Omega \tau \right) \right) ,\quad x=\gamma \left( R\sin \left( \Omega \tau \right) -\beta c\tau \right) $$

$$\beta <0$$

Если $\tau =0,$ то $t=0,$, $x=0,$\ $y=R,$
Если $\tau =\tau _{0}$, то

$$cT=\gamma \left( c\tau _{0}-\beta R\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) \right) ,\quad L=\gamma \left( R\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) -\beta c\tau _{0}\right) ,$$

Вылетая из начала координат, фотон достигает точки $x=L$ за время $T_{\mathrm{ph}}=\frac{L}{c}$
Подсчитаем время $T$ , за которое нейтрино пролетит расстояние $L$

$$ c\tau _{0}=-\frac{L-\gamma R\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) }{\beta \gamma },\quad \beta =-\left\vert \beta \right\vert $$

$$ T=\frac{\gamma \left( c\tau _{0}-\beta R\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) \right) }{c}=\frac{\left( \frac{L-\gamma R\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) }{\left\vert \beta \right\vert }+\gamma \left\vert \beta \right\vert R\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) \right) }{c} $$

$$ T=\frac{1}{c\left\vert \beta \right\vert }\left( L-\gamma R\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) +\gamma \left\vert \beta \right\vert ^{2}R\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) \right) $$

$$ T=\frac{1}{c\left\vert \beta \right\vert }\left( L-R\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) \sqrt{1-\left\vert \beta \right\vert ^{2}}\right) $$

$$ \Delta t=T_{\mathrm{ph}}-T=\frac{L}{c\left\vert \beta \right\vert }\left( \left\vert \beta \right\vert -1+\frac{R}{L}\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) \sqrt{1-\left\vert \beta \right\vert ^{2}}\right) $$

Пусть

$$ \varepsilon =1-\left\vert \beta \right\vert \ll 1,\quad \left\vert \beta \right\vert \approx 1 $$

тогда

$$ \Delta t=T_{\mathrm{ph}}-T=\frac{1}{c}\left( R\sin \left( \Omega \tau _{0}\right) \sqrt{2\varepsilon }-L\varepsilon \right) $$

Пусть $\Omega \tau _{0}\gg 1$, тогда при $\Omega \tau _{0}=\left( 2n+\frac{1}{2}\right) \pi

$$ \Delta t=T_{\mathrm{ph}}-T=\frac{\sqrt{\varepsilon }}{c}\left( R\sqrt{2}-L% \sqrt{\varepsilon }\right) $$

Если

$$R>L\sqrt{\frac{\varepsilon }{2}},\quad \Delta t=T_{\mathrm{ph}}-T>0 $$

то фотон будет детектирован позже, чем нейтрино.
Это и есть объяснение эффекта ОПЕРА. Нужно только объяснить, почему нейтрино вращается по кругу в системе координат, где оно покоится.
Может быть, кто-нибудь найдет ошибку в моих расчетах. Мне не удалось это сделать.

[whiterussian]

А куда у вас делась $y$-компонента скорости?

[rylov]

whiterussian в сообщении #515136 писал(а):

А куда у вас делась -компонента скорости?

Можно выписать проекцию мировой линии на ось OY, но я опустил эту проекцию для простоты. Это ничего не меняет, поскольку интересна проекция мировой линии нейтрино только на плоскость ТХ.

[Munin]

rylov в сообщении #515125 писал(а):

Может быть, кто-нибудь найдет ошибку в моих расчетах. Мне не удалось это сделать.

Я могу подсказать пару приёмов, чтобы вы самостоятельно могли искать ошибки в своих расчётах. Во-первых, стройте графики ваших промежуточных результатов, чтобы видеть и ощущать наглядно, что вы насчитали. Пространственно-временные диаграммы - прежде всего.

[whiterussian]

rylov в сообщении #515143 писал(а):

Можно выписать проекцию мировой линии на ось OY, но я опустил эту проекцию для простоты.

Ну-ну... а зачем вы тогда $x-$проекцию скорости сравниваете с $c$? жульничество!

[rylov]

whiterussian в сообщении #515147 писал(а):

Ну-ну... а зачем вы тогда проекцию скорости сравниваете с ? жульничество!

Не надо так скоропалительно. Если полная скорость в системе координат K' меньше скорости света(а она равна $\Omega R / c$ ), то она будет такой в любой системе координат.

[type2b]

если получилось, что что-то движется быстрее скорости света, то возникает мысль, что забыли учесть ограничение, что это что-то движется медленнее света :)

Ваша ошибка в том, что вы забыли условие $\Omega R/c<1$. Подставьте сюда $\Omega$ из $\Omega \tau_0$, а также $c\tau_0$ из соотв. выражения. Синус замените единицей, поскольку вы взяли $\Omega\tau_0=\pi/2+2\pi n$. Получите неравенство

$$L/R>\gamma (1-\frac{\pi}{2}\beta(1+4n))\,,$$

откуда следует, что $L/R>\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$, откуда следует, что $T_{ph}-T<0$.

Кстати, это был "парадокс" не динамики, а кинематики.

Вообще, стандартная стратегия изобретателей парадоксов и вечных двигателей такая. Взять какую-нибудь задачу, убедиться, что все сходится, энергия сохраняется и т.п. Дальше усложнить и накрутить эту задачу до тех пор, пока сам не запутаешься, и объявить, что вот он, парадокс/вечный двигатель/...

В вашем случае это выглядит так. Возьмем какое-нибудь аццкое движение, подставим сразу все формулы, запутаемся и получим, что в новой системе отсчета тело движется быстрее скорости света. А ведь гораздо проще и яснее взять произвольное движение в общем виде, взять преобразование Лоренца и доказать, что для этого произвольного движения в новой системе отсчета скорость будет меньше $c$. Это показать совершенно элементарно, причем с математической строгостью.

[rylov]

Munin в сообщении #515145 писал(а):

rylov в сообщении #515125 писал(а):

Может быть, кто-нибудь найдет ошибку в моих расчетах. Мне не удалось это сделать.

Я могу подсказать пару приёмов, чтобы вы самостоятельно могли искать ошибки в своих расчётах. Во-первых, стройте графики ваших промежуточных результатов, чтобы видеть и ощущать наглядно, что вы насчитали. Пространственно-временные диаграммы - прежде всего.

Спасибо за рекомендации. Они действительно полезны. Я их использовал при получении результата (а не для нахождения ошибки). Результат был получен по существу на основании простой пространственно-временной схемы, которая была изображена на соответствующем рисунке. Рисунок можно найти в моей работе по обоснованию результата эксперимента ОПЕРА. Работа есть на моем сайте. Для обсуждения на форуме я избрал аккуратную математическую формулировку, чтобы избежать кривотолков. Кроме того, я не умею представлять рисунки на этом форуме.
Думайте, коллеги, ищите ошибку. Иначе придется признать, что указанный парадокс имеет место быть со всеми вытекющими отсюда последствиями.

[rylov]

type2b в сообщении #515350 писал(а):

Ваша ошибка в том, что вы забыли условие $\Omega R/c<1$. Подставьте сюда $\Omega$ из $\Omega \tau_0$, а также $c\tau_0$ из соотв. выражения. Синус замените единицей, поскольку вы взяли $\Omega\tau_0=\pi/2+2\pi n$. Получите неравенство

$$L/R>\gamma (1-\frac{\pi}{2}\beta(1+4n))\,,$$

откуда следует, что $L/R>\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$, откуда следует, что $T_{ph}-T<0$.

Кстати, это был "парадокс" не динамики, а кинематики.

Ваше обнаружение ошибки носит очень странный характер. Вы предлагаете найти $\Omega$ из $\Omega \tau_0$. Как Вы это себе представляете? $\Omega \tau_0$ входит только под знаком синуса. Как Вы извлекаете $\Omega$ оттуда? Обратные тригонометрические функции у Вас не фигурируют. Может быть, Вы взяли
$\Omega$ из соотношения $\Omega\tau_0=\pi/2+2\pi n$? Если это так, то это просто бред, поскольку величина $\Omega \tau_0$ определена с точностью до $2n\pi$, где $n$ сколь угодно большое целое число. Полученное Вами соотношение $L/R>\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ оказывается взятым с потолка. Кроме того из него никак не следует написанное Вами неравенство $T_{ph}-T<0$.
Наконец, полученное Вами неравенство существенно слабее того неравенства, которое представлено в моем посте
$ R>\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}L$
Вообще, полное впечатление, что либо Вы писали это, находясь в неадекватном состоянии, либо сейчас так "хорошо" учат студентов, либо, наконец, это просто «хохма». Но мне представляется, что так шутить на форуме неправильно. Тем более неприятное впечатление производят Ваши поучения относительно того, что и как надо делать.

[epros]

(Оффтоп)

rylov в сообщении #515125 писал(а):

Нужно только объяснить, почему нейтрино вращается по кругу в системе координат, где оно покоится.

Офигеть

[Munin]

rylov в сообщении #515400 писал(а):

Рисунок можно найти

Приведите его (и только его) в этой теме. Никто не будет против.

[type2b]

хорошо, я могу подробнее, раз это необходимо.

Берем ваши формулы

$$c\tau_0=\frac{L-\gamma R\sin(\Omega\tau_0)}{|\beta|\gamma}$$

$$T=\frac{\gamma}{c}(c\tau_0+|\beta|R\sin(\omega\tau_0))$$

Возьмем $\Omega\tau_0=\pi/2+2\pi n$. Тогда формулы упрощаются:

$$c\tau_0=\frac{L-\gamma R}{|\beta|\gamma}$$

$$T=\frac{\gamma}{c}(c\tau_0+|\beta|R)$$

Отсюда легко получается, что

$$T_{ph}-T=\frac{R\sqrt{1-|\beta|}}{c|\beta|}\left(\sqrt{\frac{1+|\beta|}{1-|\beta|}}-\frac{L}{R}\right)$$

Далее, $\Omega\tau_0=\frac{\pi}{2}(1+4n)$, и $\tau_0$ можно выразить из предыдущих формул. В результате:

$$\Omega=\frac{\pi}{2}\frac{|\beta|\gamma c}{L-\gamma R}(1+4n)$$

Отсюда

$$\Omega R/c=\frac{\pi}{2}\frac{|\beta|\gamma}{L/R-\gamma}(1+4n)$$

Из неравенства $\Omega R/c<1$ получаем

$$\frac{L}{R}>\gamma+\frac{\pi}{2}|\beta|\gamma(1+4n)$$

Замечаем, что

$$\gamma+\frac{\pi}{2}|\beta|\gamma(1+4n)\ge\gamma+\frac{\pi}{2}|\beta|\gamma>\gamma+|\beta|\gamma=\sqrt{\frac{1+|\beta|}{1-|\beta|}}$$

поэтому из нашего неравенства следует, что

$$L/R>\sqrt{\frac{1+|\beta|}{1-|\beta|}}$$

Поэтому глядя на выражение для $T_{ph}-T$ видим, что оно всегда отрицательно, ч.т.д.

[rylov]

type2b в сообщении #515604 писал(а):

поэтому из нашего неравенства следует, что $$L/R>\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$
Поэтому глядя на выражение для $T_{ph}-T$ видим, что оно всегда отрицательно, ч.т.д

Ваши расчеты я не проверял. Они, по-видимому, правильны. К сожалению, Вы решали совсем другую задачу. В результате Вы получили, что $T_{ph}-T <0$, если радиус $R$ достаточно мал

$$R<L\sqrt{\frac{1-\beta }{1+\beta }}$$

Это правильно.

Я получил, что $ T_{ph}-T >0$, если радиус $R$ достаточно велик $R>L\sqrt{\varepsilon /2}=L\sqrt{\frac{1-\beta }{1+\beta }}. $. В чем противоречие? Где Вы видите у меня ошибку?
В результате Ваш результат только подтверждает мой. Спасибо, это -- независимый расчет и дополнительное косвенное подтверждение, что ошибки у меня нет.

-- 15.12.2011, 07:48 --

Munin в сообщении #515470 писал(а):

Приведите его (и только его) в этой теме. Никто не будет против.

К сожалению, мне не удалось справиться с правилами построения рисунков на этом форуме.

(Оффтоп)

Рисунок вместе с пояснениями можно найти на моем сайте в моей статье, посвященной эффекту ОПЕРА http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/oescep1rw.pdf

[type2b]

еще раз: я не делал никаких предположений о радиусе. Это неравенство возникает из условия $\Omega R < c \Leftrightarrow R<c/\Omega$. Вы забыли учесть это неравенство, а именно оно говорит, что частица движется медленнее скорости света. Если его не учесть, то конечно частица может двигаться и быстрее скорости света.

[rylov]

type2b в сообщении #515685 писал(а):

еще раз: я не делал никаких предположений о радиусе. Это неравенство возникает из условия . Вы забыли учесть это неравенство, а именно оно говорит, что частица движется медленнее скорости света. Если его не учесть, то конечно частица может двигаться и быстрее скорости света.

Величины $\Omega$ и $R$ являются параметрами движения частицы. Они задаются один раз и остаются неизменными во все время движения. При движении выполняется одно из двух условий $\Omega R/c>1$ или $\Omega R/c<1$. Это никак не влияет на получаемое ограничение на величину радиуса $R$.
Я допускаю, что Вы в своем расчете учитывали последнее неравенство. Но этот учет был фиктивным, потому что я в своем расчете эти неравенства не учитывал, но тем не менее получил по существу тот же результат.

Посмотрите на полученный мной результат $T_{ph}-T=\sqrt {\varepsilon}(R-\sqrt{\varepsilon /2} L)$. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Все зависит от соотношения между $R$ и $L$, a $\Omega$ может быть любой величиной.