Деление на сумму цифр

[Ktina]

Натуральное число разделили на сумму его десятичных цифр, получив в частном N и в остатке - тоже N.
Найти все N, при коих сие возможно, и доказать, что других нет.

[Руст]

Уравнение $n=N(S(n)+1)\le S^2(n)$, так как $N\le S(n)-1$. Так как $1999>28^2$ число n имеет не более 3 цифр. Причем в случае 3 цифр первая цифра не больше 7, соответственно и не больше 6, не больше 5. Т.е. $S(n)\le 23$. Легко проверяется, что 23 не годится, аналогично проверяется 22 не годится, так как из $n<22^2\to S(n)\le 3+9+9=21$. 21 так же не годится, так как $399\not =21*N+N,N\le 20$. Соответственно максимальное (единственное с $S(n)=20$) решение $n=399=20*19+19$/

[Ktina]

Руст в сообщении #514671 писал(а):

Уравнение $n=N(S(n)+1)\le S^2(n)$, так как $N\le S(n)-1$. Так как $1999>28^2$ число n имеет не более 3 цифр. Причем в случае 3 цифр первая цифра не больше 7, соответственно и не больше 6, не больше 5. Т.е. $S(n)\le 23$. Легко проверяется, что 23 не годится, аналогично проверяется 22 не годится, так как из $n<22^2\to S(n)\le 3+9+9=21$. 21 так же не годится, так как $399\not =21*N+N,N\le 20$. Соответственно максимальное (единственное с $S(n)=20$) решение $n=399=20*19+19$/

Ну, это Вы максимальное N нашли. А ведь красота задачи в том, чтобы их все найти, и это не трудно. Очень красивый ответ получается.

Так, стоп-машина!
Вы меня запутали. Вы вообще неправильно решили. 399 делится на сумму своих цифр без остатка!

Просто привыкла Вам доверять, поэтому внимательно не прочла.

[kiyanyn]

Ktina в сообщении #514656 писал(а):

Натуральное число разделили на сумму его десятичных цифр, получив в частном N и в остатке - тоже N.
Найти все N, при коих сие возможно, и доказать, что других нет.

Ну, похоже, что это 2,3,5,6,11 (числа соответственно 16,39,55,96,189).

А вот с доказательствами у меня всегда были сложности :)

[Ktina]

kiyanyn в сообщении #514682 писал(а):

Ktina в сообщении #514656 писал(а):

Натуральное число разделили на сумму его десятичных цифр, получив в частном N и в остатке - тоже N.
Найти все N, при коих сие возможно, и доказать, что других нет.

Ну, похоже, что это 2,3,5,6,11 (числа соответственно 16,39,55,96,189).

А вот с доказательствами у меня всегда были сложности :)

Только не 189, а 187.
Доказательство начните с наблюдения за тем, что происходит с N, равными 1 по модулю 3.

[kiyanyn]

Ktina в сообщении #514684 писал(а):

kiyanyn в сообщении #514682 писал(а):

Ну, похоже, что это 2,3,5,6,11 (числа соответственно 16,39,55,96,189).

Только не 189, а 187.

Виноват, описа'лся...

Ktina в сообщении #514684 писал(а):

Доказательство начните с наблюдения за тем, что происходит с N, равными 1 по модулю 3.

Увы, я никак не математик, так что честь доказательства оставлю другим, более подкованным :)

[Руст]

Да ошибся $S(399)=21\not =20$. Cоответственно проверяется $S(n)=20,19$ (отсутствует). По модулю 9 получаем уравнение
$(S(n)+1)*N=S(n)$, откуда следует, что $N\not =1\mod 3$ и $S(n)=18\to N=9\to S(19*9)\not =18$.
Если $N=3,6$, то $N=S(n)\mod 9$, т.е. $S(n)=N+9\to n=(N+10)N$ и оба решение. Остаются только случаи $N=2\mod 2$.
Если $N=2\mod 9$, то $S(n)=7\mod 9$. Проверяем числа $n=2(7+1)=16, 2(16+1), 11(16+1)=187$. Среднее не решение.
Если $N=5\mod 9$, то $S(n)=1\mod 9$. Проверяем число $n=5(10+1)=55$ - решение.
Если $N=8\mod 9$, то $S(n)=4\mod 9$. Проверяем число $n=8(13+1)=112$ - не решение.
Других решений нет. Естетическая оценка задачи - плохая.