Функан, пространство ограниченных последовательностей

[mrfreeman]

Здравствуйте. У меня всплыла небольшая задачка. Есть пространство всех ограниченных последовательностей(вроде так это называется):

$\sup|x_{k}| < \infty$, где $1 \leqslant k \leqslant \infty$

Кажется его еще обозначают $l_{\infty}$

Я уже задал на нем метрику, доказал что это пространство векторное(линейное), доказал что оно нормированное, теперь осталось показать что оно банахово, т. е. нужно доказать что данное пространство полное.

Тут возникла трудность, я плохо понимаю сходимость, пределы и все что с ними связано.

Вот что я пока сделал:

Для каждого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $N$, что

$\rho_{\infty}(x_{n},x_{m}) = \sup|x_{mk},x_{nk}| < \varepsilon$, где $m,n > \varepsilon$ и $1 \leqslant k \leqslant \infty$

Дальше кажется нужно к пределу переходить, но я не знаю как, подскажите пожалуйста что дальше делать, это очень важно. Буду искренне благодарен.

[AKM]

Возвращено из карантина.

[ewert]

mrfreeman в сообщении #513058 писал(а):

Для каждого $\epsilon > 0$ существует такой номер $N$, что

$\rho_{\infty}(x_{n},x_{m}) = \sup|x_{mk},x_{nk}| < \epsilon$, где $m,n > \epsilon$ и $1 \leqslant k \leqslant \infty$

Выведите отсюда поточечную, т.е. покомпонентную сходимость этих элементов. Тогда у Вас появится зацепка, и останется лишь доказать ограниченность этой предельной последовательности и то, что сходимость к ней -- именно равномерная. Ну и, конечно, предварительно исправьте один из $\varepsilon}$ на что положено.