Алгебраическая структура нестационарных преобразований

[mclaudt]

Стационарные преобразования $\varphi^t$ динамической системы образуют полугруппу по операции композиции. Если они обратимы, то образуют группу.

Какую структуру образуют обратимые нестационарные преобразования $\varphi^{t_1,t_2}$? Закон их композиции $\varphi^{t_1,t_2}\circ\varphi^{t_2,t_3}=\varphi^{t_1,t_3}$ записывается просто лишь для интервалов с общим краем, композиция любых других интервалов сразу выводит за границы двухпараметричности. Чем-то похоже на структуру прямоугольных матриц $t_1\times t_2$, для случая дискретного положительного времени.

[bnovikov]

mclaudt в сообщении #511238 писал(а):

Какую структуру образуют обратимые нестационарные преобразования $\varphi^{t_1,t_2}$? Закон их композиции $\varphi^{t_1,t_2}\circ\varphi^{t_2,t_3}=\varphi^{t_1,t_3}$

В теории полугрупп это называется "прямоугольная связка".

[mclaudt]

Спасибо. Хотя, кажется, тут не выполняется требование rectangular bands быть собственно bands - т.е. идемпотентность: $\varphi^{t_1,t_2}\circ\varphi^{t_1,t_2}\neq\varphi^{t_1,t_2}$.

Какой-то громоздкий крокодил выходит, и неутилитарный.

[bnovikov]

mclaudt в сообщении #511247 писал(а):

Спасибо. Хотя, кажется, тут не выполняется требование rectangular bands быть собственно bands - т.е. идемпотентность: $\varphi^{t_1,t_2}\circ\varphi^{t_1,t_2}\neq\varphi^{t_1,t_2}$.

А чему тогда у Вас равно $\varphi^{t_1,t_2}\circ\varphi^{t_1,t_2}$?


Я не разбираюсь в динамических системах, но вижу, что у Вас здесь пары $(a,b)$, которые перемножаются по правилу
$(a,b)(c,d)=(a,d)$.
А это и есть прямоугольная связка.

[mclaudt]

bnovikov в сообщении #511248 писал(а):

А чему тогда у Вас равно $\varphi^{t_1,t_2}\circ\varphi^{t_1,t_2}$?

Произведения такого типа (т.е. не имеющие общей граничной точки посередине) выводят за рамки двухпараметричности. В связи с чем, собственно, и возник вопрос. Формально: пускаем систему по одному участку фазового потока два раза подряд - конструкция фиктивная, и нужная лишь чтобы обеспечить замкнутость искомой структуры относительно всех возможных композиций (а у нас лишь часть композиций имеет простую двухпараметрическую форму).

Сразу скажу - интерес праздный, никакого глубокого умысла за ним не стоит.

[bnovikov]

Извините, не доглядел и перепутал.
К Вашей ситуации близки так наз. полугруппы (или группоиды) Брандта. В них умножение такое:
$(a,b)(c,d)$ равно $(a,d)$, если $b=c$, и 0, если $b\ne c$.

[mclaudt]

Большое спасибо за помощь, похоже, они!

[Oleg Zubelevich]

mclaudt в сообщении #511238 писал(а):

Стационарные преобразования $\varphi^t$ динамической системы образуют полугруппу по операции композиции. Если они обратимы, то образуют группу.

Какую структуру образуют обратимые нестационарные преобразования $\varphi^{t_1,t_2}$? З

на практике, как правило, легче перейти в расширенное фазовое простарство системы и работать с автономной динамической системой и стационарными преобразованиями, чем задаваться такими вопросами